Witam, nie mogę sobie poradzić z zadaniem:
Udowodnij, że liczbę \(\displaystyle{ \left( \sqrt{2} -1 \right) ^{2010}}\) można przedstawić w postaci \(\displaystyle{ \sqrt{m+1} - \sqrt{m}}\) gdzie \(\displaystyle{ m}\) jest pewną liczbą naturalną.
Będę wdzięczny za każdą pomoc
Przedstawienie liczby w postaci
-
- Użytkownik
- Posty: 2662
- Rejestracja: 1 gru 2012, o 00:07
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Pomógł: 369 razy
Przedstawienie liczby w postaci
Szybka i nieprzemyślana wskazówka:
Niech \(\displaystyle{ m=1}\). Mamy wówczas
\(\displaystyle{ \left( \sqrt{2} -1 \right) ^{2010}=\left( \sqrt{m+1} - \sqrt{m} \right) ^{2010}}\)
Niech \(\displaystyle{ m=1}\). Mamy wówczas
\(\displaystyle{ \left( \sqrt{2} -1 \right) ^{2010}=\left( \sqrt{m+1} - \sqrt{m} \right) ^{2010}}\)
-
- Moderator
- Posty: 2095
- Rejestracja: 9 gru 2012, o 19:46
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa, mazowieckie
- Podziękował: 139 razy
- Pomógł: 504 razy
Przedstawienie liczby w postaci
Udowodnij indukcyjnie na początku, że każdą liczbę \(\displaystyle{ \left( 1- \sqrt{2} \right)^{n}}\) można zapisać w postaci \(\displaystyle{ \sqrt{a^{2}}- \sqrt{2b^{2}}}\), gdzie \(\displaystyle{ a, b}\) to liczby naturalne spełniające \(\displaystyle{ a^{2}-2b^{2}=\left( -1\right)^{n}}\).
-
- Użytkownik
- Posty: 9833
- Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 90 razy
- Pomógł: 2632 razy
Przedstawienie liczby w postaci
Oznaczmy \(\displaystyle{ (\sqrt{2}-1)^{2010}=x}\). Łatwo sprawdzić, że \(\displaystyle{ \frac 1x = (\sqrt{2}+1)^{2010}}\). Mamy też:
\(\displaystyle{ (\sqrt{2}-1)^{2010}+(\sqrt{2}+1)^{2010}= 2\sum_{k=0}^{1005}\binom{2010}{2k} 2^{1005-k}}\)
więc w szczególności \(\displaystyle{ x+\frac 1x}\) jest liczbą naturalną parzystą, czyli:
\(\displaystyle{ x+\frac 1x = n}\)
i równoważnie:
\(\displaystyle{ x^2-nx+1=0}\)
Rozwiązania tego równania z uwagi na \(\displaystyle{ x}\) to \(\displaystyle{ \frac n2 \pm \sqrt{\left( \frac n2\right)^2-1}}\), a ponieważ nasze \(\displaystyle{ x}\) jest mniejsze niż jeden, więc:
\(\displaystyle{ x= \sqrt{\left( \frac n2\right)^2} - \sqrt{\left( \frac n2\right)^2-1}}\)
co kończy dowód.
Q.
\(\displaystyle{ (\sqrt{2}-1)^{2010}+(\sqrt{2}+1)^{2010}= 2\sum_{k=0}^{1005}\binom{2010}{2k} 2^{1005-k}}\)
więc w szczególności \(\displaystyle{ x+\frac 1x}\) jest liczbą naturalną parzystą, czyli:
\(\displaystyle{ x+\frac 1x = n}\)
i równoważnie:
\(\displaystyle{ x^2-nx+1=0}\)
Rozwiązania tego równania z uwagi na \(\displaystyle{ x}\) to \(\displaystyle{ \frac n2 \pm \sqrt{\left( \frac n2\right)^2-1}}\), a ponieważ nasze \(\displaystyle{ x}\) jest mniejsze niż jeden, więc:
\(\displaystyle{ x= \sqrt{\left( \frac n2\right)^2} - \sqrt{\left( \frac n2\right)^2-1}}\)
co kończy dowód.
Q.