Podzielności
-
mol_ksiazkowy
- Użytkownik
- Posty: 13537
- Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 3436 razy
- Pomógł: 812 razy
Podzielności
Udowodnić, że jeśli \(\displaystyle{ n}\) jest liczbą naturalną, i \(\displaystyle{ p}\) jest liczbą pierwszą , taką że \(\displaystyle{ n}\) dzieli \(\displaystyle{ p-1}\) i \(\displaystyle{ p}\) dzieli \(\displaystyle{ n^3-1}\), to \(\displaystyle{ 4p-3}\) jest kwadratem liczby całkowitej.
-
arek1357
Re: Podzielności
Z: \(\displaystyle{ n}\) - nat, \(\displaystyle{ p}\) - pierwsza
\(\displaystyle{ n | p-1 }\)
\(\displaystyle{ p | n^3-1\ }\)
T: \(\displaystyle{ 4p-3=y^2}\)
Dw.:
z założenia:
\(\displaystyle{ p=kn+1 , p|n^3-1=(n-1)(n^2+n+1) \Rightarrow p|n^2+n+1}\)
ale: \(\displaystyle{ p=kn+1}\)
więc:
\(\displaystyle{ n^2+n+1=mp=kmn+m}\)
lub:
\(\displaystyle{ n^2+(1-km)n+(1-m)=0}\)
jak widać jest to równanie kwadratowe z niewiadomą \(\displaystyle{ n}\) i ono ma mieć rozwiazanie w naturalnych, czyli delta musi być kwadratem:
\(\displaystyle{ \Delta=\left( mk-1\right)^2+4(m-1)=x^2 }\)
jeżeli teraz: \(\displaystyle{ m=1}\)
więc otrzymamy:
\(\displaystyle{ p=n^2+n+1}\)
czyli:
\(\displaystyle{ 4p-3=4n^2+4n+1=\left( 2n+1\right)^2}\)
jak widać teza jest spełniona
załóżmy teraz, że:
\(\displaystyle{ m>1}\)
otrzymamy:
\(\displaystyle{ \Delta=\left( mk-1\right)^2+4(m-1)=x^2}\)
jak widać mamy, że:
kwadrat plus liczba równa się kwadratowi, znaczy to tylko tyle, że:
liczba musi spełnić taki warunek. czyli:
\(\displaystyle{ 4(m-1) \ge 2(mk-1)+1}\)
więc:
\(\displaystyle{ 2m(2-k) \ge 3}\)
czyli:
\(\displaystyle{ k=1}\)
znaczy to tylko tyle, że:
\(\displaystyle{ p=kn+1=n+1}\)
ale wiemy, że:
\(\displaystyle{ p | n^2+n+1}\)
więc musiało by być:
\(\displaystyle{ n+1 | n^2+(n+1) \Rightarrow n+1|n^2}\)
a to jest niemożliwe czyli mamy przypadek pierwszy:
\(\displaystyle{ m=1}\)
a wtedy teza jest spełniona...
cnd....
przykład na przykład:
\(\displaystyle{ n=2, p=7}\)
jak widać założenia są spełnione ponieważ:
\(\displaystyle{ 2 | 6 , 7 | 2^3-1=7}\)
a teza:
\(\displaystyle{ 4p-3=4 \cdot 7-3=25=5^2}\)
\(\displaystyle{ n | p-1 }\)
\(\displaystyle{ p | n^3-1\ }\)
T: \(\displaystyle{ 4p-3=y^2}\)
Dw.:
z założenia:
\(\displaystyle{ p=kn+1 , p|n^3-1=(n-1)(n^2+n+1) \Rightarrow p|n^2+n+1}\)
ale: \(\displaystyle{ p=kn+1}\)
więc:
\(\displaystyle{ n^2+n+1=mp=kmn+m}\)
lub:
\(\displaystyle{ n^2+(1-km)n+(1-m)=0}\)
jak widać jest to równanie kwadratowe z niewiadomą \(\displaystyle{ n}\) i ono ma mieć rozwiazanie w naturalnych, czyli delta musi być kwadratem:
\(\displaystyle{ \Delta=\left( mk-1\right)^2+4(m-1)=x^2 }\)
jeżeli teraz: \(\displaystyle{ m=1}\)
więc otrzymamy:
\(\displaystyle{ p=n^2+n+1}\)
czyli:
\(\displaystyle{ 4p-3=4n^2+4n+1=\left( 2n+1\right)^2}\)
jak widać teza jest spełniona
załóżmy teraz, że:
\(\displaystyle{ m>1}\)
otrzymamy:
\(\displaystyle{ \Delta=\left( mk-1\right)^2+4(m-1)=x^2}\)
jak widać mamy, że:
kwadrat plus liczba równa się kwadratowi, znaczy to tylko tyle, że:
liczba musi spełnić taki warunek. czyli:
\(\displaystyle{ 4(m-1) \ge 2(mk-1)+1}\)
więc:
\(\displaystyle{ 2m(2-k) \ge 3}\)
czyli:
\(\displaystyle{ k=1}\)
znaczy to tylko tyle, że:
\(\displaystyle{ p=kn+1=n+1}\)
ale wiemy, że:
\(\displaystyle{ p | n^2+n+1}\)
więc musiało by być:
\(\displaystyle{ n+1 | n^2+(n+1) \Rightarrow n+1|n^2}\)
a to jest niemożliwe czyli mamy przypadek pierwszy:
\(\displaystyle{ m=1}\)
a wtedy teza jest spełniona...
cnd....
przykład na przykład:
\(\displaystyle{ n=2, p=7}\)
jak widać założenia są spełnione ponieważ:
\(\displaystyle{ 2 | 6 , 7 | 2^3-1=7}\)
a teza:
\(\displaystyle{ 4p-3=4 \cdot 7-3=25=5^2}\)
-
mol_ksiazkowy
- Użytkownik
- Posty: 13537
- Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 3436 razy
- Pomógł: 812 razy
Re: Podzielności
Albo też : \(\displaystyle{ n+1=k}\) gdyż \(\displaystyle{ \frac{kn+k-n}{kn+1} }\) jest liczbą naturalną... / gdyż \(\displaystyle{ kn+k-n = k(n^2+n+1)- n(kn+1)}\).
-
arek1357
Re: Podzielności
Generalnie skoro tylko może być, że:
\(\displaystyle{ m=1}\)
otrzymamy:
\(\displaystyle{ p=n^2+n+1}\)
a wtedy:
\(\displaystyle{ n |n^2+n=p-1}\)
\(\displaystyle{ p=n^2+n+1 | n^3-1}\)
\(\displaystyle{ 4p-3=4n^2+4n+1=\left( 2n+1\right)^2}\)
i wszystko spełnione wyszło takie masło maślane...(mało smerfastyczne a już na pewno nie fikuśne)
\(\displaystyle{ m=1}\)
otrzymamy:
\(\displaystyle{ p=n^2+n+1}\)
a wtedy:
\(\displaystyle{ n |n^2+n=p-1}\)
\(\displaystyle{ p=n^2+n+1 | n^3-1}\)
\(\displaystyle{ 4p-3=4n^2+4n+1=\left( 2n+1\right)^2}\)
i wszystko spełnione wyszło takie masło maślane...(mało smerfastyczne a już na pewno nie fikuśne)