Matematyka.pl

Udowodnić, że jeśli \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\) są liczbami naturalnymi i \(\displaystyle{ a}\) dzieli \(\displaystyle{ b}\), zaś \(\displaystyle{ a-1}\) dzieli \(\displaystyle{ b-1}\), to \(\displaystyle{ b \ge a^2}\).

To oczywista nieprawda. Dla dowolnego `a` zachodzi `a|a`,`a-1|a-1`, ale rzadko kiedy `a\ge a^2`

a jeśli \(\displaystyle{ a \neq b }\)

Wydaje mi się, że wystarczy rozpisać podzielność, tzn dla pewnych naturalnych \(\displaystyle{ l,k}\) zachodzi
\begin{cases}
la = b; \\
k(a-1) = b-1.
\end{cases}
Wówczas \(\displaystyle{ ka - k = la - 1 ,}\) a więc \(\displaystyle{ k \equiv 1 (mod \text{ }a) }\), więc z założeniem \(\displaystyle{ k > 1 }\) otrzymujemy
\[b -1 = k(a - 1) \ge (a+1)(a-1) = a^2 - 1, \quad \text{więc }b \ge a^2\]