Podzielność z cechą
-
mol_ksiazkowy
- Użytkownik
- Posty: 13537
- Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 3436 razy
- Pomógł: 812 razy
Podzielność z cechą
Niech \(\displaystyle{ x }\) nie będzie liczbą całkowitą i \(\displaystyle{ n= \lfloor \frac{1}{ x - \lfloor x \rfloor} \rfloor}\). Udowodnić, że \(\displaystyle{ \lfloor (n^2-1)x \rfloor +2}\) dzieli się przez \(\displaystyle{ n+1}\).
-
a4karo
- Użytkownik
- Posty: 22485
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 44 razy
- Pomógł: 3857 razy
Re: Podzielność z cechą
sformułowanie jest dziwne. Np jeżeli `x` jest macierzą `5\times6` :}
Ostatnio zmieniony 21 lis 2023, o 22:46 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.
-
arek1357
Re: Podzielność z cechą
wsk. da się to zrobić zakładając, że np:
\(\displaystyle{ 0<x= \frac{a}{b} , a<b, b=ka+r, r<a}\)
Dodano po 8 minutach 2 sekundach:
Nawet jak x będzie niewymierne to nawet dla niewymiernej możemy dobrać wymiernego reprezentanta...
\(\displaystyle{ 0<x= \frac{a}{b} , a<b, b=ka+r, r<a}\)
Dodano po 8 minutach 2 sekundach:
Nawet jak x będzie niewymierne to nawet dla niewymiernej możemy dobrać wymiernego reprezentanta...
-
a4karo
- Użytkownik
- Posty: 22485
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 44 razy
- Pomógł: 3857 razy
Re: Podzielność z cechą
Niech `y=x-\lfloor x\rfloor`. Oczywiście `0<y<1`.
Z warunków zadania wynika, że \(\displaystyle{ \frac{1}{n+1}<y\le \frac1n}\)
Stąd \(\displaystyle{ \frac{n^2-1}{n+1}<(n^2-1)y\le \frac{n^2-1}{n}}\), czyli
\(\displaystyle{ n-1<(n^2-1)y<n-\frac1n}\), a zatem
\(\displaystyle{ \lfloor(n^2-1)y\rfloor +2=n+1}\)
Stąd
\(\displaystyle{ \lfloor(n^2-1)x\rfloor +2=\lfloor(n^2-1)(y+\lfloor x\rfloor)\rfloor +2=\lfloor(n^2-1)y\rfloor +2+(n^2-1)\lfloor x\rfloor=(n+1)\left[1+(n+1)\lfloor x\rfloor\right]}\)
Z warunków zadania wynika, że \(\displaystyle{ \frac{1}{n+1}<y\le \frac1n}\)
Stąd \(\displaystyle{ \frac{n^2-1}{n+1}<(n^2-1)y\le \frac{n^2-1}{n}}\), czyli
\(\displaystyle{ n-1<(n^2-1)y<n-\frac1n}\), a zatem
\(\displaystyle{ \lfloor(n^2-1)y\rfloor +2=n+1}\)
Stąd
\(\displaystyle{ \lfloor(n^2-1)x\rfloor +2=\lfloor(n^2-1)(y+\lfloor x\rfloor)\rfloor +2=\lfloor(n^2-1)y\rfloor +2+(n^2-1)\lfloor x\rfloor=(n+1)\left[1+(n+1)\lfloor x\rfloor\right]}\)