Matematyka.pl

Zadanie jest łatwe, wystarczy zauważyć, że:

\(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{n} \left[ \frac{n}{i} \right] = \sum_{i=1}^{n}\lambda(i) }\)

trzeba, też zauważyć, że ilość dzielników kwadratu jest nieparzysta niekwadratu - parzysta

np.: \(\displaystyle{ 2^2}\) ma trzy dzielniki a sześć cztery

i teraz obserwacja:

\(\displaystyle{ 1 \rightarrow 1 \rightarrow 1 , \sqrt{1} \rightarrow 1 }\)

\(\displaystyle{ 2 \rightarrow 2 \rightarrow 0 , \sqrt{2} \rightarrow 1 }\)

\(\displaystyle{ 3 \rightarrow 2 \rightarrow 0 , \sqrt{3} \rightarrow 1 }\)

\(\displaystyle{ 4 \rightarrow 3 \rightarrow 1 ,\sqrt{4} \rightarrow 0}\)

\(\displaystyle{ 5 \rightarrow 2 \rightarrow 0 , \sqrt{5} \rightarrow 0}\)

\(\displaystyle{ 6 \rightarrow 4 \rightarrow 0 , \sqrt{6} \rightarrow 0}\)

\(\displaystyle{ 7 \rightarrow 2 \rightarrow 0 ,\sqrt{7} \rightarrow 0 }\)

\(\displaystyle{ 8 \rightarrow 4 \rightarrow 0 , \sqrt{8} \rightarrow 0}\)

\(\displaystyle{ 9 \rightarrow 3 \rightarrow 1 , \sqrt{9} \rightarrow 3 }\)

...................................................................................

Z tej tabelki widać jak na dłoni jak parzystość wyrażona zerem i nieparzystość jedynką się zmienia

pierwsza strzałka przyporządkowuje liczbie jej ilość dzielników a druga przyporządkowuje parzystość tej ilości czyli zero lub jedeen...
Ostatnia strzałka oznacza parzystość lub nie części całkowitej z pierwiastka...

i widać, że parzystość i nieparzystość:

\(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{n} \left[ \frac{n}{i} \right] }\)

oraz:

\(\displaystyle{ \sqrt{n} }\)

jest zawsze taka sama , cnd...

Oczywiście brakuje mi formalizacji w tym zadaniu i formalnego zapisu, ale akurat wolałem pokazać jak to działa na przykładzie

A od strony formalnej "pod krawatem" każdy se dojrzy jak zechce...

arek1357 pisze: ↑12 mar 2023, o 11:46 \(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{n} \left[ \frac{n}{i} \right] = \sum_{i=1}^{n}\lambda(i) }\)

Dlaczego?

Sprawdź sobie policz ale mądra Pani mnie tego nauczyła w szkole...
Mimo mego tępstwa ...

Dodano po 1 minucie 39 sekundach:
Spróbuj udowodnić indukcyjnie...

a powiesz co to za smieszna funkcja `\lambda`?

Znalazłem takie o:

Czemu śmieszna jest to ilość dzielników liczby n...
Mi nie do śmiechu...

Dodano po 1 minucie 10 sekundach:
To nie to co se tam wygoglowałeś...

Dodano po 2 minutach 27 sekundach:
Chyba wynika to z kontekstu zadania co to za funkcja...

Liczbę dzielników oznaczamy funkcją \(\displaystyle{ θ}\). Funkcja \(\displaystyle{ λ}\), to funkcja Carmichaela, tak jak Samouk poprawnie zauważył.