Matematyka.pl

Udowodnić, że jeśli ułamek nieskracalny \(\displaystyle{ \frac{a}{b}}\) , którego mianownik jest liczbą pierwszą jest to jako ułamek dziesiętny okresowy o parzystej liczbie cyfr \(\displaystyle{ 2n}\) w okresie to suma liczb utworzonych z \(\displaystyle{ n}\) pierwszych i z \(\displaystyle{ n }\) ostatnich cyfr tego okresu jest liczbą \(\displaystyle{ n}\) cyfrową zbudowaną z samych dziewiątek.
Przykład
\(\displaystyle{ \frac{2}{7}= 0,(285714) }\)

Niech s będzie minimalną taką liczbą, że:

\(\displaystyle{ 10^s=1 \mod p , s| p-1}\)

\(\displaystyle{ s}\) jest liczbą parzystą (taką najmniejszą)...

ale:

\(\displaystyle{ 10^ \frac{s}{2}=-1 \mod p }\)

czyli:

\(\displaystyle{ p| 10^{\frac{s}{2}}+1}\)

Więc jeżeli weźmiemy ułamek:

\(\displaystyle{ \frac{a}{p} = \frac{ab}{10^{ \frac{s}{2}}+1} , (a,p)=1}\)

Można założyć, że:

\(\displaystyle{ 1<a<p}\) bo jak \(\displaystyle{ a}\) będzie większe od \(\displaystyle{ p}\) to wyłączamy całości

Licznik i mianownik tego ułamka pomnożymy przez:

\(\displaystyle{ 10^{ \frac{s}{2}}-1}\)

i otrzymamy:

\(\displaystyle{ \frac{a}{p} = \frac{ab\left( 10^ \frac{s}{2}-1\right) }{10^s-1} = \frac{10^{ \frac{s}{2} }\left( ab-1\right) +10^{ \frac{s}{2} } -ab}{10^s-1} }\)

Teraz widać, że:

\(\displaystyle{ ab-1+10^{ \frac{s}{2} }-ab=10^{ \frac{s}{2} }-1=99...9}\)

Przykład:

\(\displaystyle{ \frac{3}{7} = \frac{3 \cdot 143}{10^3+1} = \frac{429(1000-1)}{10^6-1} = \frac{10^3 \cdot 428+1000-429 }{10^6-1} }\)

Jak widać:

\(\displaystyle{ 428+1000-429=999}\)

cnd...