Matematyka.pl

Przeglądałam zeszyt z kółka i znalazłam takie zadanie - teoretycznie mam rozwiązane, ale istnieją pewne problemy z odszyfrowaniem całości...

Znajdź wszystkie pary liczb pierwszych (p,q) takie, że \(\displaystyle{ p|(q+1)\ \land \ q|(p+1)}\).

Poza tym chyba jest jeszcze uogólnienie tego problemu na liczby naturalne, ale tego już pewna nie jestem.

Gdy p=q - nietrudno dowieść sprzeczności , skoro zarazem:
\(\displaystyle{ \begin{cases}q \leq p+1 \iff p \geq q-1 \\ p \leq q+1\end{cases}}\)

Toteż:
\(\displaystyle{ p=q-1 \vee p=q+1}\)
Jedyne liczby pierwsze jakie mogą po sobie następować to 2 i 3, sprawdzenie bezpośrednie pokazuje, że istotnie te liczby spełniają warunki zadania, czyli \(\displaystyle{ (p,q) \in \lbrace (2,3), \ (3,2) \rbrace}\)

chyba jest jeszcze uogólnienie tego problemu na liczby naturalne

\(\displaystyle{ p}\) dzieli \(\displaystyle{ q+r}\) i \(\displaystyle{ q}\) dzieli \(\displaystyle{ p+r}\) np. \(\displaystyle{ (p,q,r)=(3,5,7)}\).

A znajdź wszystkie pary liczb pierwszych \(\displaystyle{ p}\) i \(\displaystyle{ q}\) takie, że \(\displaystyle{ p\mid(2 \cdot q+1)}\) \(\displaystyle{ \wedge }\) \(\displaystyle{ q\mid(2 \cdot p+1)}\)

To może być problematyczne, bo dla \(\displaystyle{ p=q}\) problem jest otwarty.

Dlaczego?

Liczby pierwsze \(\displaystyle{ p}\) takie, że \(\displaystyle{ 2p+1}\) też są pierwsze, są nazwane liczbami pierwszymi Sophie Germain. Problemem otwartym jest udowodnienie, że jest ich nieskończenie wiele (lub odwrotnie). W związku z tym znalezienie ich wszystkich jest problematyczne (skoro matematykom jeszcze się to nie udało), a Twoje zadanie pyta jeszcze szerzej.

Jeśli \(\displaystyle{ 2p+1 =aq }\) , \(\displaystyle{ 2q+1 =bp}\) to \(\displaystyle{ a<3 }\) lub \(\displaystyle{ b<3}\) ....