Matematyka.pl

Liczby \(\displaystyle{ 2n + 1}\) oraz \(\displaystyle{ 3n + 1}\) są kwadratami, dla pewnego całkowitego dodatniego \(\displaystyle{ n}\). Pokaż, że liczba \(\displaystyle{ 5n + 3}\) nie jest pierwsza.

Jak to zrobić? Może mi ktoś pomóc?

Najszybciej to wyciągnąć królika z kapelusza w taki sposób:

\(\displaystyle{ 5n+3=4(2n+1)-(3n+1) =4a^2-b^2=(2a-b)(2a+b) }\) dla pewnych dodatnich \(\displaystyle{ a,b}\) zgodnie z założeniem.

Jeżeli \(\displaystyle{ 2a-b>1}\) to jest to dobra faktoryzacja i \(\displaystyle{ 5n+3 }\) nie jest pierwsza

pokaż że dla \(\displaystyle{ n>0}\) istotnie tak jest , bo dla \(\displaystyle{ n=0}\) otrzymamy liczbę pierwszą \(\displaystyle{ 3}\)

No ok, ciekawy pomysł. Jeśli \(\displaystyle{ 2a-b>1}\) to ok mamy to co chcemy.
Jeśli \(\displaystyle{ 2a-b<1}\) to tak być nie może bo jeśli \(\displaystyle{ 2a-b=0}\) to \(\displaystyle{ 5n+3=0}\), a to jest liczba dodatnia, więc tak być nie może. A jeśli \(\displaystyle{ 2a-b<0}\) to musiałoby być \(\displaystyle{ 5n+3<0}\), bo wtedy \(\displaystyle{ 2a+b>0}\), ale tak być nie może bo \(\displaystyle{ 5n+3}\) jest dodatnie. Pozostaje rozważyć co się dzieje, gdy \(\displaystyle{ 2a-b=1}\). Wówczas musiałoby istnieć dodatnie całkowite \(\displaystyle{ n}\) takie, że \(\displaystyle{ 2 \sqrt{2n+1}- \sqrt{3n+1}=1 }\), ale po podniesieniu do kwadratu obu stron, uproszczeniu i ponownym podniesieniu do kwadratu i uproszczeniu dostaje się równanie \(\displaystyle{ 97n^2+68n+12=0}\), które ma ujemną deltę, a więc nie istnieje takie dodatnie całkowite \(\displaystyle{ n}\), dla którego zachodziłaby ta równość. Dlatego musi być \(\displaystyle{ 2a-b>1}\), zatem \(\displaystyle{ 5n+3}\) jest liczbą złożoną.

Może być takie uzasadnienie? A może jest jakieś prostsze uzasadnienie?

Może mi ktoś powiedzieć jak dokończyć dowód napisany przez Psiaczka?

Może być twoje uzasadnienie , można trochę krócej ale ok

A jak to zrobić krócej?

Może mi ktoś pomóc jak to krócej i bardziej elegancko uzasadnić? Bo to moje uzasadnienie jest dość karkołomne.

To znane zadanko, poszukaj wzorcówki do: 19-th All-Russian Mathematical Olympiad 1993; Ye. Gladkova; First Day 1.

Dla `n=1` mamy `2\sqrt{2n+1}-\sqrt{3n+1}=2\sqrt3-2>1`

A dla `n>1`
\(\displaystyle{ 2\sqrt{2n+1}-\sqrt{3n+1}=\sqrt{3n+1+5n+3}-\sqrt{3n+1}\\
={\sqrt{3n+1}}\left(\sqrt{1+\red{\frac{5n+3}{3n+1}}}-1\right)\\
>\sqrt{7}(\sqrt2-1)>1 }\) .