Matematyka.pl

Liczba całkowita \(\displaystyle{ n}\) nazywa się porządna, gdy istnieją \(\displaystyle{ a_1, ..., a_m \in N}\) (niekoniecznie różne), takie że \(\displaystyle{ \frac{1}{a_1}+ ....+ \frac{1}{a_m} = 1}\) i \(\displaystyle{ n = a_1 + … + a_m}\).
Wykazać ze liczba 33 jest porządna, i wskazać przykład liczby, która taką nie jest.
Czy liczb porządnych jest nieskończenie wiele ?

\(\displaystyle{ 33=9+9+9+3+3}\)

Liczba \(\displaystyle{ 3}\) nie jest porządna (jest nieporządna?) z trywialnym dowodem.

Każda liczba postaci \(\displaystyle{ 2^{2n}}\) jest porządna, bo \(\displaystyle{ 2^{2n}=2^{n}+2^{n}+...+2^{n}}\), więc takich liczb jest nieskończenie wiele.

Jeśli wymagamy, by były rożne to możemy wziąć ciąg:
\(\displaystyle{ \begin{cases} a_{1}=2 \\ a _{n+1}= (\prod_{i=1}^{n} a_{i}) +1 \end{cases}}\)
Taki ciąg spełnia zależność:
\(\displaystyle{ (\sum_{i=1}^{n-1} \frac{1}{ a_{i} }) + \frac{1}{ a_{n}-1 }=1}\)
a zatem wszystkie liczby postaci \(\displaystyle{ (\sum_{i=1}^{n} a_{n})-1}\) są porządne.