Matematyka.pl

I jak sobie z tym poradzić?:

1. Pokaż, że liczb w postaci 6n+1 gdzie n naturalne, nie można przedstawić jako różnicy liczb pierwszych.

2. Znajdź wszystkie liczby pierwsze p takie, by liczba 2*p^2 + 1 była również liczbą pierwszą.

3. Udowodnij, że każda liczba naturalna n, n>6 jest sumą dwóch względnie pierwszych liczb naturalnych większych od 1.

4. Udowodnij, że jeżeli n>2 to miedzy n a n! istnieje przynajmniej jedna liczba pierwsza.

Dzięki z góry za pomoc.

1)
Załóżmy, że takowe przedstawienie istnieje.

\(\displaystyle{ 6n+1}\) jest liczbą nieparzystą, więc jedna z liczb pierwszych, których różnicę rozważamy jest dwójką, czyli

\(\displaystyle{ p-2 = 6n+1}\). Dalej mamy:

\(\displaystyle{ p=6n+3=3(2n+1)}\), sprzeczność.

2)
\(\displaystyle{ p=3}\) spełnia warunki zadania. Załóżmy więc \(\displaystyle{ p\not\equiv 0\pmod 3}\).

\(\displaystyle{ p\equiv 1\pmod 3}\), więc
\(\displaystyle{ p^2\equiv 1\pmod 3}\), czyli
\(\displaystyle{ 2p^2+1\equiv 2+1=3\equiv 0\pmod 3}\), czyli nie jest pierwsze.

Jedyną liczbą spełniającą warunki zadania jest więc \(\displaystyle{ p=3}\).

3)
Rozpatrzmy nieparzyste \(\displaystyle{ n}\). Wtedy \(\displaystyle{ n-2}\) również jest nieparzyste, więc \(\displaystyle{ \gcd (n-2, 2) = 1}\), więc mamy szukany rozkład: \(\displaystyle{ n=(n-2)+2}\).

Rozważmy teraz parzyste \(\displaystyle{ n}\).

Jeśli \(\displaystyle{ n=4k}\), to \(\displaystyle{ 4k=(2k-1)+(2k+1)}\), bo \(\displaystyle{ \gcd(2k+1, 2k-1) = 1}\), gdyż są to kolejne liczby nieparzyste.

Jeśli \(\displaystyle{ n=4k+2}\), to \(\displaystyle{ n=4k+2=(2k+3)+(2k-1)}\), bo \(\displaystyle{ \gcd(2k+3, 2k-1) = 1}\) (wykażemy to):

Załóżmy, że \(\displaystyle{ 11}\) między \(\displaystyle{ n}\), a \(\displaystyle{ 2n}\) leży co najmniej jedna liczba pierwsza.

Sprawdź sobie jakieś małe przypadki ręcznie, zauważ, że dla \(\displaystyle{ n>3}\) zachodzi \(\displaystyle{ n!>2n}\).


Pozdrawiam,
--
Tomasz Rużycki

niezłe, niezłe =], dzieki za pomoc.

4) Bardziej elemenarnie. Liczba n!-1 ma dzielnik pierwszy p. Gdyby było \(\displaystyle{ p\leq n}\), byłoby p | n!, czyli p | 1, co jest niemożliwe. Jest więc p>n. Wobec p | n!-1, mamy \(\displaystyle{ p\leq n!-1}\), zatem \(\displaystyle{ p < n!}\).