Matematyka.pl

Udowodnić, że jeśli \(\displaystyle{ a >1, b > 1}\) są to liczby naturalne i względnie pierwsze, zaś \(\displaystyle{ m }\) jest liczbą liczbą parzystą, to \(\displaystyle{ a+b}\) nie dzieli \(\displaystyle{ a^m+b^m}\).

Reszta z dzielenia wielomianu \(\displaystyle{ a^m + x^m}\) przez \(\displaystyle{ a+x}\) wynosi \(\displaystyle{ 2a^m}\), zatem

\(\displaystyle{ a^m + b^m \equiv 2a^m \pmod{a+b}}\).

Załóżmy nie wprost, że \(\displaystyle{ a+b}\) dzieli \(\displaystyle{ a^m + b^m}\). Na mocy powyższego \(\displaystyle{ a+b}\) dzieli również \(\displaystyle{ 2a^m}\). Jednocześnie \(\displaystyle{ a+b}\) jest względnie pierwsze z \(\displaystyle{ a}\), więc i z \(\displaystyle{ a^m}\), czyli musi dzielić \(\displaystyle{ 2}\) - sprzeczność.

A czy można indukcją (po \(\displaystyle{ m}\) )?

Dodano po 15 godzinach 1 minucie 57 sekundach:
\(\displaystyle{ m=2}\). Istnieje dzielnik pierwszy \(\displaystyle{ p>2}\) tylko jednej z liczb \(\displaystyle{ a, b}\); tj. nie dzieli on \(\displaystyle{ a+b}\). I \(\displaystyle{ \frac{a^2+b^2}{a+b}= a+b - \frac{2ab}{a+b} }\).