Matematyka.pl

Udowodnić, że wśród liczb \(\displaystyle{ a, 2a, … , (n-1)a}\) istnieje taka, która różni się od jakiejś liczby całkowitej nie więcej niż o \(\displaystyle{ \frac{1}{n}}\).

Jeżeli któraś z tych licz jest całkowita, to nie ma czego dowodzić.
Jeżeli różnica między `ka` i `la` jest liczbą całkowitą, to liczba `|k-l|a` jest całkowita i też nie ma czego dowodzić.
W przeciwnym razie części ułamkowe tych liczb dzielą odcinek `[0,1)` na `n` części, zatem odległość między pewnymi dwiema (np `{ka},{la}`) nie jest większa niż `1/n`. A to oznacza, że `{(k-l)a}\le 1/n`lub `{(k-l)a}\ge 1-1/n`