Kłopot z silnią
-
mol_ksiazkowy
- Użytkownik
- Posty: 13374
- Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 3425 razy
- Pomógł: 809 razy
Kłopot z silnią
Udowodnić, że \(\displaystyle{ \frac{(np-1)!}{(n-1)!p^{n-1}} \equiv (-1)^n \ (\bmod p)}\), gdy \(\displaystyle{ p}\) jest liczbą pierwszą.
Ostatnio zmieniony 22 wrz 2025, o 17:57 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.
-
kerajs
- Użytkownik
- Posty: 8708
- Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 335 razy
- Pomógł: 3431 razy
Re: Kłopot z silnią
Może tak:
\(\displaystyle{ \frac{(2 \cdot 3-1)!}{(2-1)!3^{2-1}}= \frac{5!}{3}=40 \\\
40 \bmod 3=1 \\
(-1)^2=1 }\),
więc:
\(\displaystyle{ \frac{(2 \cdot 3-1)!}{(2-1)!3^{2-1}} \bmod 3 =(-1)^2}\)
\(\displaystyle{ \frac{(2 \cdot 3-1)!}{(2-1)!3^{2-1}}= \frac{5!}{3}=40 \\\
40 \bmod 3=1 \\
(-1)^2=1 }\),
więc:
\(\displaystyle{ \frac{(2 \cdot 3-1)!}{(2-1)!3^{2-1}} \bmod 3 =(-1)^2}\)
Ostatnio zmieniony 23 wrz 2025, o 14:43 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.
-
arek1357
Re: Kłopot z silnią
indukcyjnie:
\(\displaystyle{ n=1}\)
\(\displaystyle{ \frac{(p-1)!}{0!p^0} =(-1)^1=-1 \bmod p}\)
dla : \(\displaystyle{ n+1}\)
\(\displaystyle{ \frac{\left[ (n+1)p-1\right]! }{n!p^n}= \frac{\left[ pn-1\right]!(pn)(pn+1)...(pn+p-1) }{(n-1)!p^{n-1} \cdot np}
=}\)
\(\displaystyle{ = \frac{(np-1)!}{(n-1)!p^{n-1}} \cdot \frac{(pn)(pn+1)...(pn+p-1)}{np} =\\=(-1)^n \cdot \left( 1 \cdot 2 \cdot ... \cdot (p-1)\right) =(-1)^n \cdot (-1)=(-1)^{n+1} \bmod p}\)
cnd...
\(\displaystyle{ n=1}\)
\(\displaystyle{ \frac{(p-1)!}{0!p^0} =(-1)^1=-1 \bmod p}\)
dla : \(\displaystyle{ n+1}\)
\(\displaystyle{ \frac{\left[ (n+1)p-1\right]! }{n!p^n}= \frac{\left[ pn-1\right]!(pn)(pn+1)...(pn+p-1) }{(n-1)!p^{n-1} \cdot np}
=}\)
\(\displaystyle{ = \frac{(np-1)!}{(n-1)!p^{n-1}} \cdot \frac{(pn)(pn+1)...(pn+p-1)}{np} =\\=(-1)^n \cdot \left( 1 \cdot 2 \cdot ... \cdot (p-1)\right) =(-1)^n \cdot (-1)=(-1)^{n+1} \bmod p}\)
cnd...
Ostatnio zmieniony 23 wrz 2025, o 18:09 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.
-
arek1357
Re: Kłopot z silnią
wsk:
licznik i mianownik ułamka musi posiadać p w tej samej potędze, po to aby sensownie go skrócić...
licznik i mianownik ułamka musi posiadać p w tej samej potędze, po to aby sensownie go skrócić...