Weźmy dwa dowolne startowe wyrazy ciągu, \(\displaystyle{ a_1}\), \(\displaystyle{ a_2}\) gdzie \(\displaystyle{ a_1>0}\) oraz \(\displaystyle{ a_2>0}\) (jak w ciągu Fibonacciego
)Utwórzmy ciąg liczbowy taki, że \(\displaystyle{ a_{n+1}= \frac{a_n+a_{n-1}}{a_n \cdot a_{n-1}} }\)
Excel mówi, że \(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty } a_n= \sqrt{2} }\)
Dodano po 14 minutach 39 sekundach:
Sprawa jest ciekawsza
Excel powiedział, że
Weźmy \(\displaystyle{ k}\) startowych dowolnych wyrazów ciągu, większych od \(\displaystyle{ 0}\)
\(\displaystyle{ a_1, a_2...a_k}\)
dla \(\displaystyle{ n>k}\)
wyraz ciągu \(\displaystyle{ a_n= \frac{a_{n-1}+a_{n-2}+...+ a_{n-k}}{a_{n-1} \cdot a_{n-2} \cdot ... \cdot a_{n-k}} }\)
\(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty } a_n= \sqrt[k]{k} }\)
Dodano po 2 godzinach 43 minutach 44 sekundach:
Pobawiłem się nieco ciągiem Fibonacciego idąc za ciosem.
Dla \(\displaystyle{ k}\) dowolnych startowych wyrazów ciągu \(\displaystyle{ a_1,a_2,...,a_k}\) większych od \(\displaystyle{ 0}\)
dla \(\displaystyle{ n>k}\)
Tworzymy ciąg liczbowy
\(\displaystyle{ a_{n+1}= a_n+a_{n-1}+...+a_{n-k}}\)
\(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty } \frac{a_n}{a_{n-1}}=c }\) gdzie liczba \(\displaystyle{ c>0}\) jest rozwiązaniem równania \(\displaystyle{ c^k=c^{k-1} +c^{k-2}...+c^{k-k} }\)
k | c
_______________________
2 | 1,618033988749890
3 | 1,839286755214160
4 | 1,927561975482930
5 | 1,965948236645490
6 | 1,983582843424330
7 | 1,991964196605040
8 | 1,996031179735420
....
Dodano po 2 godzinach 15 sekundach:
Jeszcze jest dla \(\displaystyle{ k=1}\) \(\displaystyle{ c=1}\)
Wygląda na to, że ciąg Fibonacciego jest jedynie szczególnym przypadkiem ciągu brombala dla \(\displaystyle{ k=2}\).
Dodano po 2 dniach 20 godzinach 54 minutach 15 sekundach:
\(\displaystyle{ 1,839286755214160}\) to stała tribonacci. Czyli nic nowego.