Matematyka.pl

Udowodnić, że nie istnieją liczby naturalne \(\displaystyle{ a, b}\) takie, że \(\displaystyle{ \frac{a}{b}+ \frac{b+1}{a} = 4 }\).

\(\displaystyle{ \frac{a}{b}+ \frac{b+1}{a} = 4 \ \ \ \| \cdot ab \\
a^2+a(-4b)+b^2+b=0\\
\sqrt{\Delta} = \sqrt{12b^2-4b} =2 \sqrt{b(3b-1)} }\)
Jeśli \(\displaystyle{ b}\) nie jest kwadratem, to musi być czynnikiem \(\displaystyle{ 3b-1}\), a to jest niemożliwe, więc b musi być kwadratem.
\(\displaystyle{ b=k^2 \\
\sqrt{\Delta} = 2 \sqrt{b(3b-1)} =2|k| \sqrt{3k^2-1} }\)
Dla parzystego \(\displaystyle{ k}\) dzielenie wyrażenia podpierwiastkowego przez \(\displaystyle{ 4}\) da resztę \(\displaystyle{ 3}\), a dla nieparzystego \(\displaystyle{ k}\) da resztę \(\displaystyle{ 2}\), czyli wyrażenie podpierwiastkowego nie może być kwadratem.