Matematyka.pl

Wyznaczyć najmniejszą liczbę trójkątną, która nie jest ilorazem liczb trójkątnych większych od 1.

Wszystkie liczby trójkątne do \(\displaystyle{ T_7=28}\) da się przedstawić w postaci ilorazu liczb trójkątnych.
Zakładam zatem najmniejsza liczbę nie dającą się przedstawić w postaci ilorazu \(\displaystyle{ T_8=36}\).
\(\displaystyle{ T_n= \frac{n \cdot (n+1)}{2} }\)
\(\displaystyle{ T_{n+x}= \frac{(n+x) \cdot (n+x+1)}{2} }\)
\(\displaystyle{ \frac{T_{n+x}}{T_n}=36 }\) gdzie \(\displaystyle{ x}\) musi być liczbą naturalną
Przedstawiam równanie
\(\displaystyle{ x^2+(2n+1)x-35n^2-35n=0}\)
Obliczam wyróżnik
\(\displaystyle{ \Delta= 144n(n+1)+1}\)
Przedstawiam jako
\(\displaystyle{ \Delta=144(n+ \frac{1}{2})^2-35 }\)
\(\displaystyle{ \Delta=144(n+ \frac{1}{2})^2- \frac{144 \cdot 35}{144} }\)
]
\(\displaystyle{ \sqrt{\Delta}=12 \cdot \sqrt{C+0,25-0,2430(5)} }\) Gdzie \(\displaystyle{ C}\) naturalna
\(\displaystyle{ \sqrt{\Delta}=12 \cdot \sqrt{C+0,0069(4)} }\)
Z takiego \(\displaystyle{ \sqrt{\Delta} }\) - \(\displaystyle{ x}\) nie będzie naturalny