Matematyka.pl

Jakie liczby naturalne nie są przedstawialne w formie: \(\displaystyle{ \frac{NWW(m,n) - NWD(m,n)}{m-n}}\) gdzie \(\displaystyle{ m}\) i \(\displaystyle{ n}\) są różnymi liczbami naturalnymi

Faktycznie istnieją liczby nieprzedstawialne. Trochę badałem jak to wygląda ale nie potrafię wyłowić tych liczb. Poniżej to co uzyskałem. Część wyprowadzona cześć zauważona.
Jak można zauważyć.
\(\displaystyle{ NWW(m, n)= \frac{m \cdot n}{NWD(m, n)} }\)
załóżmy
\(\displaystyle{ m>n}\)
\(\displaystyle{ m=NWD(m, n) \cdot k}\)
\(\displaystyle{ n=NWD(m, n) \cdot l}\)
przy czym
\(\displaystyle{ NWD(k, l)=1}\)

Wynik po takich tam to równanie
\(\displaystyle{ NWD(m, n) \cdot \frac{k \cdot l-1}{k-l} }\)
Przyjmijmy
\(\displaystyle{ \Delta=k-l }\)

Dla \(\displaystyle{ \Delta<3}\) oraz \(\displaystyle{ i=\left\{ 1, 2, 3, ....\right\} }\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} k_0=\Delta+1\\ k_i=k_0+i \cdot \Delta \end{cases} }\)

Oraz dla \(\displaystyle{ \Delta>2}\) oraz \(\displaystyle{ i=\left\{ 1, 2, 3, ....\right\} }\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} k_0=\Delta+1\\ k_i=k_0+i \cdot \Delta -2\\ k_{i_1}=k_0+i \cdot \Delta \end{cases} }\)

Otrzymamy wszystkie naturalne wyniki równe
\(\displaystyle{ NWD(m, n) \cdot \left( \frac{ k^{2} }{\Delta} -k- \frac{1}{\Delta} \right) }\)

To chociaż wypisz kilka z nich...tak np. do setki...

W latexie mi się nie wstawiło

To teraz dobrze by było to przesiać wypisać bez powtarzania a potem te, które nie wychodzą...

Choć łatwiej by ci było szukać obrazów naturalnych wyrażenia

\(\displaystyle{ \frac{xy-1}{x-y} , x>y , (x,y)=1}\) - bo masz tu mniej zmiennych...

A potem wypisać te, których nie uzyskasz ...

I tam ci się \(\displaystyle{ NWD}\) skraca bo jest w liczniku i mianowniku, \(\displaystyle{ NWD}\) można przyjąć dlatego \(\displaystyle{ 1}\)

Zresztą można śmiało stwierdzić, że panuje tu chaos deterministyczny trudno uchwycić porządek...

Sprawdziłem do wyniku \(\displaystyle{ 10000}\) wszystkie nieparzyste rozwiązania występują

Ale parzyste też się pojawiają a jakie się nie pojawiają?

Zacznę od równania
\(\displaystyle{ \frac{xy-1}{x-y} }\)
Z wyszukanych wartości wynika reguła
\(\displaystyle{ \Delta =x-y}\)
a jednocześnie
\(\displaystyle{ x=i \cdot \Delta \pm 1}\)
Równanie przyjmuje postać (bez \(\displaystyle{ x=1 \cdot \Delta-1}\) )
1.)
\(\displaystyle{ \frac{(i \cdot \Delta-1) ^{2}-1 }{\Delta} }\)
\(\displaystyle{ \frac{i ^{2} \cdot \Delta ^{2} -2 \cdot \Delta }{\Delta} }\) co daje liczbę naturalną \(\displaystyle{ i ^{2} \cdot \Delta-2}\)
2.)
\(\displaystyle{ \frac{(i \cdot \Delta+1) ^{2}-1 }{\Delta} }\)
\(\displaystyle{ \frac{i ^{2} \cdot \Delta ^{2} +2 \cdot \Delta }{\Delta} }\) co daje liczbę naturalną \(\displaystyle{ i ^{2} \cdot \Delta+2}\)