Matematyka.pl

Ile rozwiązań w zbiorze liczb naturalnych ma równanie \(\displaystyle{ xyz + xy + yz + zx + x + y + z = 2022}\)

Znalazłem \(\displaystyle{ 4}\) zestawy liczb (razem \(\displaystyle{ 15}\)):
\(\displaystyle{ 0, 0, 2022}\)
\(\displaystyle{ 0, 6, 288}\)
\(\displaystyle{ 0, 16, 118}\)
\(\displaystyle{ 6, 16, 16}\)
Więcej nie ma

Czyli:
\(\displaystyle{ 1\cdot 1\cdot (7\cdot 17^2)}\)
\(\displaystyle{ 1\cdot 7\cdot (17^2)}\)
\(\displaystyle{ 1\cdot 17\cdot (17\cdot 7)}\)
\(\displaystyle{ 7\cdot 17\cdot 17}\)

Dodano po 1 dniu 1 godzinie 1 minucie 51 sekundach:
Re: Ile rozwiązań w zbiorze liczb naturalnych ma równanie
Tak sobie gdybałem: gdyby w miejsce liczby \(\displaystyle{ 2022}\) wstawić liczbę pierwszą . Jak wyglądałoby warunki dla liczby sąsiadującej.
Nic ciekawego nie wyszło ale wyszła mi oczywista oczywistość.
Każda liczba Mersenne'a \(\displaystyle{ >3}\) pomniejszona o \(\displaystyle{ 1}\) jest podzielna przez \(\displaystyle{ 3}\).
To znana właściwość?

Brombal pisze: 11 sie 2023, o 11:52 Każda liczba Mersenne'a \(\displaystyle{ >3}\) pomniejszona o \(\displaystyle{ 1}\) jest podzielna przez \(\displaystyle{ 3}\).
To znana właściwość?

Nieznana!

Janusz Tracz pisze: 11 sie 2023, o 12:34
A nawet nieprawdziwa \(\displaystyle{ 2^4-1-1=14.}\)

\(\displaystyle{ 15}\) to liczba Mersenne'a?

Dodano po 2 minutach 25 sekundach:
Faktycznie chodziło o liczby pierwsze Mersenne'a?
Tak to jest jak się człowiek zafiksuje.

Brombal pisze: 11 sie 2023, o 12:47 Faktycznie chodziło o liczby pierwsze Mersenne'a?

W takim razie to prawda. Ale z liczbami pierwszymi ma to mało wspólnego, bo wynika to z ogólniejszego faktu. Po prostu liczby postaci \(\displaystyle{ 2^{2n+1}-1-1}\) są podzielne przez \(\displaystyle{ 3}\) wszak to inaczej \(\displaystyle{ 2(4^n-1)=(4-1)(\dots)}\). Innymi słowy liczby Mersenne'a o indeksach nieparzystych pomniejszone o \(\displaystyle{ 1}\) są podzielne przez \(\displaystyle{ 3}\). A to, że warunkiem koniecznym aby liczba Mersenne'a \(\displaystyle{ M_k}\) była pierwsza jest aby \(\displaystyle{ k}\) było pierwsze sprawia, że liczby pierwsze Mersenne'a po prostu ujawniają się jedynie, gdy ich indeksy są pierwsze a zatem i nieparzyste.

ja patrzyłem tak:
Z trzech kolejnych liczb dokładnie jedna jest podzielna przez \(\displaystyle{ 3}\) jedna jest w postaci \(\displaystyle{ 2 ^{n} }\) druga jest pierwsza .
Szukałem jedynie czy rozkład na czynniki liczb obok pierwszej ma jakąś zasadę. Nie znalazłem.

\[xyz + xy + yz + zx = x(yz + y + z) + y(zx + z) = x(y+1)(z+1) + y(z+1) = (x+1)(y+1)(z+1) - (x+y+z).\]

Teraz możemy podstawić to wyrażenie z powrotem do równania:

\[(x+1)(y+1)(z+1) - (x+y+z) + x + y + z = 2022.\]

Uporządkujmy to równanie:

\[(x+1)(y+1)(z+1) = 2022.\]

Teraz możemy znaleźć wszystkie trójki liczb naturalnych \(x\), \(y\) i \(z\) które spełniają to równanie poprzez podzielenie \(2022\) na trzy czynniki-

\[2022 = 2 \cdot 3 \cdot 337.\]

Dla każdego z tych czynników \(2\), \(3\) i \(337\), możemy wybrać, czy będzie on równy \(x+1\), \(y+1\) lub \(z+1\). Ostatecznie, mamy \(3^3 = 27\) możliwości wyboru dla \(x\), \(y\) i \(z\).

Pamiętając o tym, że wybrane liczbt naturalne muszą być większe od \(0\), \(x+1\), \(y+1\) i \(z+1\) nie moga być równe \(1\). Stąd mamy \(27 - 3 = 24\) możliwości ponieważ musimy wykluczyć te przypadki w których któryś z czynników jest równy \(1\).

Dynia5 pisze: 18 sie 2023, o 20:20 \[xyz + xy + yz + zx = x(yz + y + z) + y(zx + z) = x(y+1)(z+1) + y(z+1) = (x+1)(y+1)(z+1) - (x+y+z).\]

Chyba jednak nie