Matematyka.pl

Czy iloczyn dwóch liczb Mersenne'a (tj. liczb w formie \(\displaystyle{ 2^n-1}\)) może być liczbą Fermata (tj. \(\displaystyle{ 2^{2^m}+1}\)) ?

Po rozpisaniu iloczynu mersenów i odjęciu jedynek po obu stronach można zauważyć, że

1. Potęgi mersenów musza być równe bo ich iloczyn pomniejszony o jedynkę będzie liczbą nieparzystą. (Fermat pomniejszony o jeden jest parzysty).
Równanie przyjmie postać.
\(\displaystyle{ 2^n \cdot (2^n-2)=2^{2^m}}\)
Stopień parzystości lewej strony wynosi \(\displaystyle{ n+1}\)
Stopień parzystości prawej wynosi \(\displaystyle{ 2^m}\)
Rozwiązaniem mogą być \(\displaystyle{ n+1=2^m}\)

mogą być to różne liczby, tj. będzie to iloczyn \(\displaystyle{ (2^a-1)(2^b-1)}\)...

Załóżmy \(\displaystyle{ a \neq b}\) zapiszmy to inaczej \(\displaystyle{ b=a+c}\)
\(\displaystyle{ (2^a-1) \cdot (2^{a+c}-1)=2^{2^m}+1}\)
\(\displaystyle{ 2^{2a+c}-2^a-2^{a+c}+1=2^{2^m}+1}\)
\(\displaystyle{ 2^a \cdot (2^{a+c}-2^c-1)=2^{2^m}}\)
Jak widać wyrażenie w nawiasie jest nieparzyste
Dorzucę dla jasności
\(\displaystyle{ 2^{a+c}-2^c-1=2^{2^m-a}}\)
lewa nieparzysta, prawa parzysta

Dodano po 3 godzinach 19 minutach 7 sekundach:
Dla \(\displaystyle{ a=b=n}\)
\(\displaystyle{ 2^{2n}-2^{n+1}=2^{2^m}}\) rozwiązań naturalnych raczej nie posiada

Dodano po 3 godzinach 53 minutach 32 sekundach:

Brombal pisze: 19 lis 2024, o 09:40 \(\displaystyle{ 2^{2n}-2^{n+1}=2^{2^m}}\) rozwiązań naturalnych raczej nie posiada

Równanie nie ma rozwiązań.
Warunek konieczny ale niewystarczający to równość stopni parzystości.
(Liczba \(\displaystyle{ n}\) przedstawiona w postaci \(\displaystyle{ n=a \cdot 2^s}\), gdzie \(\displaystyle{ a}\) nieparzysta jest stopnia \(\displaystyle{ s}\))
Lewa strona równanie jest stopnia \(\displaystyle{ n+1}\), prawa \(\displaystyle{ {2^m}}\)
Stąd
\(\displaystyle{ n+1=2^m}\)
Stąd
\(\displaystyle{ 2^{2n}-2^{n+1}=2^{n+1}}\)
\(\displaystyle{ 2^{2n}=2^{n+2}}\) Spełnione dla \(\displaystyle{ n=2}\) ale \(\displaystyle{ 2^m \neq 3}\).
Dla trzech różnych liczb Mersenna po odjęciu od obu stron równania \(\displaystyle{ 1}\), lewa strona jest pierwszego stopnia parzystości co wyklucza istnienie rozwiązań.

A czy "Fermat" może być podzielny przez "Mersennne'a"

Tak, bo `1` jest liczbą Mersenne'a

A czy \(\displaystyle{ F_n}\) i \(\displaystyle{ M_k }\) mogą mieć wspólny dzielnik pierwszy \(\displaystyle{ p}\) ?