Matematyka.pl

Wyznaczyć wszystkie czwórki liczb całkowitych dodatnich \(\displaystyle{ a < b< c< d}\) takich, że każda z nich dzieli sumę trzech pozostałych.

Wszystkie czwórki: \(\displaystyle{ \ (a,2,3a,6a) \ ,\ (a,4a,5a,10a) \ ,\ (a,2a,6a,9a) \ ,\ (a,3a,8a,12a) \ ,\ (a,6a,14a,21a) \ \ dla \ \ a \in \NN_+}\)

kerajs pisze: 4 gru 2024, o 08:22 Wszystkie czwórki: \(\displaystyle{ \ (a,2,3a,6a) \ ,\ (a,4a,5a,10a) \ ,\ (a,2a,6a,9a) \ ,\ (a,3a,8a,12a) \ ,\ (a,6a,14a,21a) \ \ dla \ \ a \in \NN_+}\)

\(\displaystyle{ 2, 3, 10, 15}\) - w której grupie?

Można zauważyć że mnożniki musza dawać dwie liczby parzyste i dwie nieparzyste.

Sorki, najwyraźniej pominąłem jakiś przypadek. A zadanie można rozwiązać zwyczajnie na kartce, używając prostych zależności:

Skoro \(\displaystyle{ d}\) dzieli \(\displaystyle{ a+b+c}\) to:
\(\displaystyle{ 1 \le \frac{a+b+c}{d} < \frac{3d}{d}=3 }\)
\(\displaystyle{ a+b+c=d \ \ \vee \ \ a+b+c=2d}\)
1. \(\displaystyle{ a+b+c=d }\)
Skoro \(\displaystyle{ c}\) dzieli \(\displaystyle{ a+b+(a+b+c)}\) to:
\(\displaystyle{ 2 \le \frac{2a+2b+c}{c} <5 \\
1 \le \frac{2(a+b)}{c} <4 \\
a+b= \frac{c}{2} \ \ \vee \ \ a+b=c \ \ \vee \ \ a+b= \frac{3c}{2} }\)

1.1. \(\displaystyle{ a+b= \frac{c}{2} }\)
Skoro \(\displaystyle{ b}\) dzieli \(\displaystyle{ a+(2a+2b)+(a+b+2a+2b)}\) to:
\(\displaystyle{ 6 \le \frac{6a+5b}{b} <11 \\
1\le \frac{6a}{b} <6 \\
a= \frac{b}{6} \ \ \vee \ \ a=\frac{2b}{6} \ \ \vee \ \ a=\frac{3b}{6} \ \ \vee \ \ a=\frac{4b}{6} \ \ \vee \ \ a=\frac{5b}{6} }\)

Trzy pierwsze rozwiązania dają uporządkowane czwórki: \(\displaystyle{ (k,6k,14k,21k) \, \ (k,3k,8k,12k) \, \ (k,2k,6k,9k) }\) które napisałem w poprzednim poscie, ale dla \(\displaystyle{ a=\frac{4b}{6} }\) dostaje się czwórkę \(\displaystyle{ (2k,3k,10k,15k)}\)
Czwórka uzyskana dla \(\displaystyle{ a=\frac{5b}{6} }\) nie spełnia warunku: \(\displaystyle{ a}\) dzieli \(\displaystyle{ b+c+d}\)

Do ponownego rozpatrzenia pozostają przypadki:
1.2 \(\displaystyle{ a+b=c }\)
1.2 \(\displaystyle{ a+b= \frac{3c}{2} }\)
oraz
2 \(\displaystyle{ a+b+c= 2d }\)

Jak będę miał czas to dopiszę wyniki, lub ktoś mnie w tym uprzedzi.

Dodano po 15 godzinach 29 minutach 59 sekundach:

1.2. \(\displaystyle{ a+b= c }\)
Skoro \(\displaystyle{ b}\) dzieli \(\displaystyle{ a+(a+b)+(2a+2b)}\) to:
\(\displaystyle{ 4 \le \frac{4a+3b}{b} <7 \\
1\le \frac{4a}{b} <4 \\
a= \frac{b}{4} \ \ \vee \ \ a=\frac{2b}{4} \ \ \vee \ \ a=\frac{3b}{4} }\)

Dwa pierwsze rozwiązania dają uporządkowane czwórki: \(\displaystyle{ (k,4k,5k,10k) \, \ (k,2k,3k,6k) }\) które napisałem w poprzednim poscie, ale czwórka uzyskana dla \(\displaystyle{ a=\frac{3b}{4} }\) nie spełnia warunku: \(\displaystyle{ a}\) dzieli \(\displaystyle{ b+c+d}\)


1.3. \(\displaystyle{ a+b= \frac{3c}{2} }\)
Skoro \(\displaystyle{ b}\) dzieli \(\displaystyle{ a+ \frac{2}{3} (a+b)+ \frac{5}{3} (a+b)}\) to ułamek \(\displaystyle{ \frac{10a+7b}{3b} }\) przyjmuje wartości całkowite ( + założenie: a<b) dla :
\(\displaystyle{
a= \frac{2b}{10} \ \ \vee \ \ a=\frac{5b}{10} \ \ \vee \ \ a=\frac{8b}{10} }\)

Dwa pierwsze rozwiązania dają czwórki w których niespełnione jest założenie \(\displaystyle{ b<c }\), a
Czwórka uzyskana dla trzeciego nie spełnia warunku: \(\displaystyle{ a}\) dzieli \(\displaystyle{ b+c+d}\)

Dodano po 57 minutach 47 sekundach:
2. \(\displaystyle{ a+b+c=2d }\)
Skoro \(\displaystyle{ c}\) dzieli \(\displaystyle{ a+b+ \frac{1}{2} (a+b+c)}\) to ułamek \(\displaystyle{ \frac{ \frac{3}{2}( a+b)+ \frac{1}{2} c}{c} }\) jest liczbą całkowitą gdy
\(\displaystyle{ \frac{3}{2} (a+b)= \frac{c}{2} \ \ \vee \ \ \frac{3}{2} (a+b)= \frac{3c}{2} \ \ \vee \ \ \frac{3}{2} (a+b)= \frac{5c}{2} }\)
Uzyskane z dwóch pierwszych zależności czwórki \(\displaystyle{ (a,b,3(a+b), 2(a+b) \ , (a,b,a+b,a+b)}\) nie spełniają warunki \(\displaystyle{ c<d}\)
Pozostaje do rozważania czwórka \(\displaystyle{ (a,b, \frac{3}{5} (a+b),\frac{4}{5} (a+b))}\)

Skoro \(\displaystyle{ b}\) dzieli \(\displaystyle{ a+\frac{3}{5} (a+b)+ \frac{4}{5} (a+b)}\) to ułamek \(\displaystyle{ \frac{14a+9b}{5b} }\) przyjmuje wartości całkowite ( + założenie: a<b) dla :
\(\displaystyle{
a= \frac{b}{14} \ \ \vee \ \ a=\frac{6b}{14} \ \ \vee \ \ a=\frac{11b}{14} }\)
Dwa pierwsze rozwiązania dają czwórki w których niespełnione jest założenie \(\displaystyle{ b<c }\), a
czwórka uzyskana dla trzeciego nie spełnia warunku: \(\displaystyle{ a}\) dzieli \(\displaystyle{ b+c+d}\)


Konkluzja:
Istnieje jedynie 6 rodzin rozwiązań.

Ps.
Jak sprawdziłem, rozważyłem jednak wszystkie przypadki, a rozwiązanie wskazane przez Brombala odrzuciłem z powodu elementarnego błędu rachunkowego.