Matematyka.pl

Witam, mam następujace zadaniem - ocenić, co jest większe:
\(\displaystyle{
\sqrt[]{3} + \sqrt[3]{2}
}\)

czy 3.

Chciałbym sprawdzic, czy moje rozumowanie jest poprawne oraz czy dobre od strony formalnej (zapisu itp).

Zauważmy najpierw, że problem sprowadza się do sprawdzenia, czy większe jest \(\displaystyle{ \sqrt[3]{2}}\) czy \(\displaystyle{ 3 - \sqrt[]{3} }\).

Z monotoniczności funkcji \(\displaystyle{ f(x) = x^3}\) wynika, że jeśli \(\displaystyle{ f(x_{1}) > f(x_{2}) }\) to \(\displaystyle{ x_{1} > x_{2} }\).

Możemy więc zamiast tego porównać \(\displaystyle{ 2}\) i \(\displaystyle{ (3 - \sqrt[]{3})^3}\).

\(\displaystyle{
(3 - \sqrt[]{3})^3 = 27 - 27\sqrt[]{3} + 27 - 3\sqrt[]{3} = 54 - 30\sqrt[]{3} = 2(27-15\sqrt[]{3})

}\)

Aby sprawdzić, czy ta liczba jest większa lub mniejsza od 2, należy sprawdzić, czy \(\displaystyle{ 27-15\sqrt[]{3}}\) jest większe lub mniejsze od 1, czyli czy \(\displaystyle{ 26-15\sqrt[]{3}}\) jest większe czy mniejsze od 0.

Z monotoniczności funkcji \(\displaystyle{ f(x) = x^3}\) dla liczb dodatnich wynika, że jeśli \(\displaystyle{ f(x_{1}) > f(x_{2}) }\) to \(\displaystyle{ x_{1} > x_{2} }\).

Porównujemy kwadraty tych wyrażeń:

\(\displaystyle{
26^2 = 676
}\)
\(\displaystyle{
(15\sqrt[]{3})^2 = 15^2 \cdot 3 = 675
}\)

Stąd:
\(\displaystyle{
26 > 15\sqrt[]{3} \Rightarrow 27 - 15\sqrt[]{3} > 1 \Rightarrow 2(27 - 15\sqrt[]{3}) > 2 \Rightarrow (3 - \sqrt[]{3})^3 > 2 \Rightarrow 3 - \sqrt[]{3} > \sqrt[3]{2} \Rightarrow \sqrt[]{3} + \sqrt[3]{2} < 3
}\)

Jest OK.

JK