Udowodnić, że jeśli \(\displaystyle{ p}\) jest liczbą pierwsza, zaś \(\displaystyle{ a}\) nie dzieli się przez \(\displaystyle{ p}\), to istnieje nieskończona ilość liczb naturalnych \(\displaystyle{ n }\) takich, że \(\displaystyle{ na^n+1}\) dzieli się przez \(\displaystyle{ p}\).
Weźmy takie \(\displaystyle{ b \in \mathbb{Z}}\), że \(\displaystyle{ ba \equiv -1 \pmod{p}}\). Na mocy Chińskiego Twierdzenia o Resztach układ
\(\displaystyle{ \begin{cases} n \equiv b \pmod {p} \\ n \equiv 1 \pmod{p-1} \end{cases}}\)
ma nieskończenie wiele rozwiązań \(\displaystyle{ n \in \mathbb{N}}\). Wystarczy wykazać, że każde z nich spełnia warunek zadania.
Na mocy Małego Mwierdzenia Fermata, kongruencja \(\displaystyle{ n \equiv 1 \pmod{p-1}}\) gwarantuje \(\displaystyle{ a^n \equiv a^1 \pmod{p}}\). Zatem dla każdego \(\displaystyle{ n}\) spełniającego układ kongruencji mamy
\(\displaystyle{ n \cdot a^n + 1 \equiv b \cdot a^1 + 1 \equiv 0 \pmod{p}}\),
Udowodnić, że jeśli \(\displaystyle{ p}\) jest liczbą pierwsza, zaś \(\displaystyle{ a}\) nie dzieli się przez \(\displaystyle{ p}\), to istnieje nieskończona ilość liczb naturalnych \(\displaystyle{ n }\) takich, że \(\displaystyle{ na^n+1}\) dzieli się przez \(\displaystyle{ p}\).
