Matematyka.pl

Poproszę o rozwiązanie tych zadań albo chociaż naprowadzenie:

1.Liczby p,q,r są wymietne i spełniają warunek pq+qr+rp=1. Udowodnij, że:
(1+p^2)(1+q^2)(1+r^2) jest kwadratem liczby wymiernej.

2.Liczby naturalne a,b,c,d spełniają równość: a^2+b^2+ab=c^2+d^2+cd. Udowodnij, że a+b+c+d jest złożona.

1. niech \(\displaystyle{ \alpha, \beta, \gamma}\) beda katami w trojkacie. mozemy sobie podstawic \(\displaystyle{ (p,q,r) = \left( \tan {\alpha \over 2} , \tan {\beta \over 2} , \tan {\gamma \over 2} \right)}\), wtedy istotnie \(\displaystyle{ pq + qr +rp = 1}\). mamy tez \(\displaystyle{ 1 + p^2 = {1 \over \cos^2 \frac{\alpha}{2}}}\) i tak dalej. wystarczy zatem dowiesc, ze \(\displaystyle{ \sin {\alpha \over 2}}\) jest wymierne, jako ze \(\displaystyle{ \tan {\alpha \over 2} = {\sin \frac{\alpha}{2} \over \cos \frac{\alpha}{2}}}\)

dalej lapie zacme. ale kombinuj w ten sposob.

to pierwsze można prosciej:
\(\displaystyle{ 1+p^2+q^2+r^2=(p+q+r)^2-2(pq+qr+pr)+1=(p+q+r)^2-1}\)
\(\displaystyle{ (pq)^2+(qr)^2+(pr)^2= (pq+qr+pr)^2-2(p+q+r)(pqr)=1-2(p+q+r)(pqr)}\)
\(\displaystyle{ (pqr)^2=(pqr)^2}\)
sumujemy stronami:
\(\displaystyle{ (1+p^2)(1+q^2)(1+r^2)=(p+q+r)^2-2(p+q+r)(pqr)+(pqr)^2=(pqr-p-q-r)^2}\)

drugie jest chyba z jakiegos BalticWay ale głowy nie dam

drugie mozna rozwazac w \(\displaystyle{ \mathbb{Z} \left[ {-1 + i \sqrt{3} \over 2} \right]}\) , ale nie chce mi sie kombinowac. pewnie by wyszlo, tylko sie nakminic trzeba

taki pomysł:
przy założeniu \(\displaystyle{ a>b}\) i \(\displaystyle{ c>d}\)
rozważmy czworokąt ABCD taki że \(\displaystyle{ AB=a^2+b^2+ab=c^2+d^2+cd}\)
\(\displaystyle{ AC=c}\)
\(\displaystyle{ BC=d}\)
\(\displaystyle{ BD=a}\)
\(\displaystyle{ AD=b}\)
z twierdzenia cosinusów mamy że katy ADB i ACB mają równe miary po 120
stad na tym czworokącie można opisać okrąg.
policzmy bok CD z twierdzenia cosinusów na 2 sposoby:
\(\displaystyle{ b^2+c^2-2bc\cos{\alpha}=DC^2=a^2+d^2-2ad\cos{\alpha}}\)
stąd:
\(\displaystyle{ 2\cos{\alpha}=\frac{b^2+c^2-a^2-d^2}{bc-ad}}\)
wstawmy to do naszego równania:
\(\displaystyle{ CD^2=b^2+c^2-bc\frac{b^2+c^2-a^2-d^2}{bc-ad}=\frac{bc(a^2+d^2)-ad(b^2+c^2)}{bc-ad}}\)
teraz skorzystajmy z twierdzenia Ptolemeusza:
\(\displaystyle{ (a^2+b^2+ab)\sqrt{\frac{bc(a^2+d^2)-ad(b^2+c^2)}{bc-ad}}=ac-bd}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{\frac{bc(a^2+d^2)-ad(b^2+c^2)}{bc-ad}}=\frac{ac-bd}{a^2+b^2+ab}}\)
tu sie zaciąłem jak na razie, ale sprobuj w ten sposob jescze mozna sie promieniem pobawic i twierzdeniem sinusów gdzieś sie pewnie bedzie dalo wylaczyc a+b+c+d i wyjdzie ze jest złożone

z rownosci mamy \(\displaystyle{ (a+b)^2-ab=(a-b)^2+3ab=(c+d)^2-cd=(c-d)^2+3cd}\)
tak wiec
\(\displaystyle{ 3(a+b)^2-3ab=3(c+d)^2-3cd}\)
\(\displaystyle{ (a-b)^2+3ab=(c-d)^2+3cd}\)
po dodaniu mamy
\(\displaystyle{ 3(a+b)^2+(a-b)^2=3(c+d)^2+(c-d)^2}\)
a stad \(\displaystyle{ 3(a+b+c+d)(a+b-c-d)=(c-d+a-b)(c-d-a+b)}\)
zalozmy przeciwnie, ze jest to liczba pierwsza \(\displaystyle{ p}\). Wtedy musi dzielic jeden z czynnikow po drugiej stronie, jednak dzieli wtedy sume tej liczby i \(\displaystyle{ p}\), ale to nam da liczbe mniejsza niz \(\displaystyle{ p}\). sprzecznosc

no ostatnie zajebiste. bardzo fajne podejscie do sprawy. musze sobie to zapamietac.

dzieki ziom:)

zalozmy przeciwnie, ze jest to liczba pierwsza . Wtedy musi dzielic jeden z czynnikow po drugiej stronie, jednak dzieli wtedy sume tej liczby i p, ale to nam da liczbe mniejsza niz . sprzecznosc.

Mógłbyś mi dokładniej wyjaśnić co rozumiesz przez sumę tej liczby? Dzięki Rozwiązanie mi się bardzo podoba:). A te zadania to z takiego zbiorku są nie z żadnego balticwaya.

no jak dodamy \(\displaystyle{ a+b+c+d}\) i \(\displaystyle{ a-b+c-d \ lub \ a-b-c+d}\) to wyjdzie nam np \(\displaystyle{ 2(a+c)}\) ale ta liczba pierwsza na pewno nie jest 2 wiec dzieli a+c, a to jest mniejsze. mozna tez bez kombinowania z suma, po prostu, ze dzieli jeden z czynnikow ale oba sa mniejsze niz p i stad juz bedzie sprzecznosc

dzięki Reksiu!

\(\displaystyle{ 3(a+b+c+d)(a+b-c-d)=(c-d+a-b)(c-d-a+b)}\)

hmm... czemu czynniki po prawej stronie maja byc mniejsze niz P ?
Bo ja to widze tak ze jesli zalozmy ( c - d + a - b ) < ( a+b+b+c+d )
wtedy 2b > 0 wiec rzeczywiscie P bedzie wieksze gdy b>0 a tego w zadaniu chyba nie ma powiedziane...

pzdr, Aram

Jest chyba powiedziane ze sa naturalne?

no tak nie zauwazylem...