Matematyka.pl

Hej ;D
mam zbadać zbieżność takiego szeregu:
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{ (-1)^{n} }{n-20 \sqrt{n}+101 }}\)

i wydaje się, że najlepiej to zrobić z kryt. Leibniza
ta część \(\displaystyle{ \frac{ 1 }{n-20 \sqrt{n}+101 }}\) zbiega do zera, ale trzeba jeszcze pokazać, że jest monotoniczna od pewnego miejsca. Jak to najprościej zrobić?

Wystarczy pokazać, że do pewnego miejsce ciąg \(\displaystyle{ b_n = n - 20 \sqrt{n} + 101}\) jest rosnący. Ale

\(\displaystyle{ b_n = \sqrt{n} \cdot \left( \sqrt{n} - 20 \right) + 101.}\)

Hmm, pewnie to oczywiste, ale dlaczego to jest oczywiste (heh), że jest on rosnący? Bo to iloczyn a potem suma dwóch rosnących funkcji?-- 3 lut 2015, o 20:13 --(bez tej sumy, po prostu + liczba miałam na myśli)

Tak. Iloczyn dwóch ciągów rosnących o dodatnich wyrazach jest rosnący, zatem ciąg \(\displaystyle{ b_n}\) jest rosnący przynajmniej od momentu, w którym \(\displaystyle{ \sqrt{n} - 20 > 0.}\) Można też inaczej:

\(\displaystyle{ b_n = n - 20\sqrt{n} + 101 = \left( \sqrt{n}-10 \right)^2 + 1.}\)

Dla wszystkich takich \(\displaystyle{ n,}\) że \(\displaystyle{ \sqrt{n} - 10 \ge 0,}\) ponieważ

\(\displaystyle{ \sqrt{n+1} - 10 \ge \sqrt{n} - 10}\)

oraz funkcja \(\displaystyle{ f(x) = x^2+1}\) jest rosnąca na przedziale \(\displaystyle{ [0, infty),}\) więc

\(\displaystyle{ f \left( \sqrt{n+1} - 10 \right) \ge f \left( \sqrt{n} - 10 \right),}\)

tj. \(\displaystyle{ b_{n+1} \ge b_n.}\)