Matematyka.pl

Jak zbadac zbieżność szeregu \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } \left( 1- \frac{\ln n}{n} \right) ^n}\)

A można skorzystać z definicji \(\displaystyle{ e^a}\)?

a jaka to definicja czy chodzi o granice \(\displaystyle{ e^a = \lim_{n\to\infty}\left(1+\tfrac{a}{n}\right)^n}\), bo jeśli tak, to można

Ona jest wolno rozbiezna. Porownaj ja z szeregiem harmonicznym (kryterium porownawcze w wersji granicznej). Ja obliczylam granice (jest rowna 1) logarytmujac wyrazenie, a potem stosujac regule L'Hôpital'a. Moze uda ci sie obliczyc ja inaczej, bylo by interesujace zobaczyc. Wczesniej probowalam korzystac z rozwiniecia logarytmu - nie dalo mi to rezultatu.

pyzol pisze:\(\displaystyle{ \left(1-\frac{\ln n}{n} \right)^n = \left[ \left(1-\frac{\ln n}{n} \right)^{\frac{n}{\ln n}}\right] ^{\ln n} \ge \left( \frac{1}{e}\right)^{\ln n}=\frac{1}{n}}\)

Sprytnie

Hmm ale nieprawdziwe. Ten ciąg jest niemalejący, także nierówność jest nieprawdziwa. Natomiast, dla dużych \(\displaystyle{ n}\) widać, że wyrazy zachowują się jak \(\displaystyle{ \frac{1}{n}}\).

szkoda pozostaje do policzenia ta skomplikowana granica

Można skorzystać z nierówności:

\(\displaystyle{ \ln (1+x)\geq x-x^2}\) prawdziwej dla \(\displaystyle{ |x|\leq 2}\)

Konkretnie, to \(\displaystyle{ (1-\ln n/n)^n = e^{n\ln (1-\ln n/n)}}\)
I korzystamy w wykładniku. Zostanie \(\displaystyle{ \frac{1}{n} \cdot \Omega(1)}\)

Co to jest to \(\displaystyle{ \Omega(1)}\)?

... 2.CE.A9.22

Innymi słowy, zostanie \(\displaystyle{ \frac{1}{n} \cdot b_n}\)
gdzie \(\displaystyle{ b_n}\) ograniczone od dołu przez stałą dodatnią.