Matematyka.pl

Witam, mam problem ze zbieżnością szeregu
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}\left( \left( 2n\right) ! \right) ^{ \frac{-1}{2n} }}\)

Witam.
Wzór Stirlinga sugeruje, że ciąg \(\displaystyle{ \left( \left( 2n\right) ! \right) ^{ \frac{-1}{2n} }}\) zachowuje się podobnie, jak \(\displaystyle{ a_{n}=\frac{c}{n}}\) dla pewnej stałej dodatniej \(\displaystyle{ c}\). Proponuję użyć asymptotycznego kryterium porównawczego z szeregiem harmonicznym.

Dalej nie mogę tego rozwiązać. Może jakieś dalsze wskazówki?

OK. Może asymptotyczne wymusza dość bezpośrednie użycie wzoru Stirlinga, więc minimalnie inaczej:
Dowód indukcyjny, że dla \(\displaystyle{ n \ge 2}\) mamy \(\displaystyle{ n! \le 2n \left( \frac{n}{e}\right)^{n}}\) nie powinien nastręczać trudności (można by dać trochę mocniejszą nierówność, ale taka w zupełności nam wystarczy). Wobec tego mamy
\(\displaystyle{ \left( \left( 2n\right) ! \right) ^{ \frac{-1}{2n} } \ge \left(4n \left( \frac{2n}{e}\right)^{2n}\right)^{- \frac{1}{2n} }}\) i dalej łatwo z porównawczego.

Wystarczy nawet nierówność \(\displaystyle{ n! \le n^n,}\) bo wtedy

\(\displaystyle{ \big[ (2n)! \big]^{-\frac{1}{2n}} \ge \left[ (2n)^{2n} \right]^{-\frac{1}{2n}} = \frac{1}{2n}.}\)