Matematyka.pl

Jak wykazać, że dla dowolnego \(\displaystyle{ p \in [1, \infty)}\) szereg \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{1}{\ln (n+1)}\right)^p}\) jest rozbieżny. Chciałem z kryterium porównawczego, ale ta potęga przeszkadza.

Możesz użyć kryterium kondensacyjnego.

\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{1}{\ln (n+1)}\right)^p = \sum_{n=2}^{\infty} \left( \frac{1}{\ln n}\right)^p}\)

\(\displaystyle{ \sum_{n=2}^{\infty}2^n \left( \frac{1}{\ln 2^n}\right)^p = \sum_{n=2}^{\infty}2^n \left( \frac{1}{n \ln 2}\right)^p = \left( \frac{1}{\ln 2}\right) ^2 \sum_{n=2}^{\infty}2^n \left( \frac{1}{n}\right)^p}\) i z kryterium Cauchy'ego szereg ten jest rozbieżny.
Dobrze?

W ostatnim przejściu masz literówkę (powinno być \(\displaystyle{ \left(\frac{1}{\ln 2}\right)^{p}}\)), ale to nic nie zmienia.
Poza tym wszystko się zgadza. Tylko nie wiem, czy można uznać za oczywiste, że ciąg \(\displaystyle{ (a_{n})_{n \in \NN}}\) dany równaniem \(\displaystyle{ a_{n}= \left(\frac{1}{\ln n} \right)^{p}}\) jest monotonicznie malejący dla \(\displaystyle{ p \ge 1}\). To już zależy od wymagań Twojego prowadzącego.