Matematyka.pl

Sprawdź czy szereg jest zbieżny bezwzględnie \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{n^2+i}{in^4+1}}\)
Korzystam z kryterium porównawczego
\(\displaystyle{ \frac{\left| n^2+i\right| }{\left| in^4+1\right| } \le \frac{n^2+1 }{n^4} \le \frac{2n^2}{n^4}= \frac{2}{n^2}}\) a wiemy , że szereg z czegoś takiego jest zbieżny , więc zbieżny jest także nasz szereg. dobrze jest to zadanie zrobione ?

Dobrze. Ew. niektórzy prowadzący wymagaliby pokazania, że zachodzi pierwsza nierówność, choć to proste.

Premislav, żeby pokazać, że zachodzi pierwsza nierówność możemy użyć tego , że \(\displaystyle{ \left| i\right| \le \left| i^2\right|=1}\) ? i wtedy łatwo bedzie mozna pokazac, że ta nierównosc jest prawdziwa

Zupełnie niepotrzebnie się bawić w takie szacowania. Nie dla każdej liczby zespolonej \(\displaystyle{ a}\) masz \(\displaystyle{ \left| a\right| \le \left| a^{2}\right|}\) - rozważ dowolną liczbę zespoloną o module mniejszym niż \(\displaystyle{ 1}\) i sie popsuje (zatem niejawnie korzystasz tu i tak ze znajomości \(\displaystyle{ \left| i\right|}\)). Po prostu \(\displaystyle{ \left| i\right|=1}\). A jeszcze prościej widać, że jak masz liczbę postaci coś tam+\(\displaystyle{ i}\), gdzie coś tam jest rzeczywiste, to masz część urojoną równą \(\displaystyle{ 1}\).
Przeto \(\displaystyle{ \left| n^{2}+i\right| = \sqrt{n^{4}+1} \le n^{2}+1}\) z podaddytywności pierwiastka (lub z podnoszenia na pałę do kwadratu i redukcji).