Matematyka.pl

Szereg \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } a_{n}}\) o wyrazach dodatnich jest zbieżny. Wówczas:

a) szereg \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } (-1)^{n} \cdot a_{n}}\) jest zbieżny

b) \(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty } \frac{ a_{n+1} }{ a_{n} }<1}\)

c) jeżeli istnieje \(\displaystyle{ n_{0} \in N}\), dla każdego \(\displaystyle{ n> n_{0}}\) \(\displaystyle{ a_{n} \le b_{n}}\), to szereg \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } b_{n}}\) nie jest zbieżny

Proszę o sprawdzenie, moje odpowiedzi a) Prawda, b) Prawda, c) Fałsz.-- 4 lut 2015, o 21:11 --Dany jest ciąg o wyrazie ogólnym \(\displaystyle{ a_{n}=(1+ \frac{1}{n}) ^{-n}}\). Wówczas:

a) szereg \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } a_{n}}\) jest zbieżny

b) szereg \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{1}{ a_{n} }}\) jest zbieżny

c) ciąg \(\displaystyle{ ( a_{n}) _{n \in N}}\) jest zbieżny do granicy właściwej

Odpowiedzi a) Fałsz, b) Fałsz, c) Prawda

b) niekoniecznie prawda. Bo co jeśli \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty}\frac{a_{n+1}}{a_{n}} = 1}\)?
c) też nie wiadomo - gdyby szereg \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}a_{n}}\) był rozbieżny to by tak było, a tak to może być albo zbieżny albo rozbieżny.

To drugie zadanie ok.

\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } (-1)^{n} \cdot a_{n}}\)

Popatrzmy na założenia kryterium Leibniza zbieżności szeregu.
... reg%C3%B3w
1. Jest spełniona, bo to warunek konieczny zbieżności szeregu.
2.Nie wprost.
Załóżmy, że ciąg \(\displaystyle{ \left( a _{n} \right)_{n \in N}}\) jest silnie rosnącym ciągiem liczb dodatnich zbieżnym do zera. Wówczas
\(\displaystyle{ \bigwedge\limits_{\epsilon > 0 }\bigvee\limits_{n_0 \in N} \bigwedge\limits_{n \ge n_0} a_n < \epsilon}\)
Ustalmy \(\displaystyle{ \epsilon:=a_1}\) wtedy
\(\displaystyle{ \bigvee\limits_{n_0 \in N} \bigwedge\limits_{n \ge n_0} a_n < a_1}\)
W szczególności
\(\displaystyle{ a_{n_0 }< a_{1 }}\)
Sprzeczność.
Spełnione są zatem założenia kryterium Leibniza.

PiotrowskiW pisze:

\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } (-1)^{n} \cdot a_{n}}\)

Popatrzmy na założenia kryterium Leibniza zbieżności szeregu.
... reg%C3%B3w
1. Jest spełniona, bo to warunek konieczny zbieżności szeregu.
2.Nie wprost.
Załóżmy, że ciąg \(\displaystyle{ \left( a _{n} \right)_{n \in N}}\) jest silnie rosnącym ciągiem liczb dodatnich zbieżnym do zera. Wówczas
\(\displaystyle{ \bigwedge\limits_{\epsilon > 0 }\bigvee\limits_{n_0 \in N} \bigwedge\limits_{n \ge n_0} a_n < \epsilon}\)
Ustalmy \(\displaystyle{ \epsilon:=a_1}\) wtedy
\(\displaystyle{ \bigvee\limits_{n_0 \in N} \bigwedge\limits_{n \ge n_0} a_n < a_1}\)
W szczególności
\(\displaystyle{ a_{n_0 }< a_{1 }}\)
Sprzeczność.
Spełnione są zatem założenia kryterium Leibniza.

Nie przesadzajmy z armatami.
Szereg
\(\displaystyle{ \sum a_n}\)
jest zbieżny, więc szereg
\(\displaystyle{ \sum (-1)^n a_n}\)
jest zbieżny bezwzględnie, a zatem zbieżny.

Jakieś krzywe te armaty. Przecież kryterium Leibniza nie wymaga, żeby ciąg nie był rosnący, tylko żeby był nierosnący. Więc z tego rozumowania nie wynika, że spełnione są założenia tego kryterium.