Matematyka.pl

Zbadać zbieżność szeregu w zależności od parametru \(\displaystyle{ \beta}\).

\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty }\frac{\tg \frac{1}{2n} }{ n^{3 \beta } }}\)


A więc tak, korzystam z kryterium Dirichleta.
\(\displaystyle{ a_{n}=\tg \frac{1}{2n}}\) - pokaże ograniczoność
I tu mam pytanie czy jak zapisze, że :
\(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty } \tg \frac{1}{2n}=0}\) to czy to wystarczy ? No bo skoro ciąg w nieskończoności zbiega do zera to znaczy ze jest ograniczony przez to zero.


\(\displaystyle{ b_{n}= \frac{1}{ n^{3 \beta } }}\) - dla \(\displaystyle{ \beta>0}\) ciąg będzie zbiegał do \(\displaystyle{ 0}\), czyli bedzie zbieżny. Dla \(\displaystyle{ \beta \le 0}\) nie będzie spełniony warunek tego kryterium a zatem ciąg będzie rozbieżny.


Czy moje rozwiązanie jest poprawne ?

Nie. Musisz delikatniej szacować tangens. co powiesz o wyrażeniu \(\displaystyle{ \frac{\tg 1/n}{1/n}}\)

Zbiega do jedynki

W kryterium Dirichleta potrzebne jest nie założenie, że ciąg \(\displaystyle{ b_n}\) jest ograniczony, tylko że ma ograniczony ciąg sum częściowych. Czyli musiałbyś pokazać, że istnieje takie \(\displaystyle{ M,}\) że dla każdego \(\displaystyle{ n \in \NN}\) jest

\(\displaystyle{ \left| \sum_{k=1}^n \tg \frac{1}{2k} \right| \le M.}\)

A to nieprawda.

To w takim razie z jakiego kryterium najlepiej ruszyc ten szereg ?

Z kryterium ilorazowego. Po drodze trzeba skorzystać z granicy, o której wyżej piszecie.

Własnie próbowałem na początku z ilorazowego ale nie moglem znalezc odpowiedniego ciagu \(\displaystyle{ b_{n}}\), mógłbys mi go podac ?

Równość

\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \frac{\tg \frac{1}{2n}}{\frac{1}{2n}} = 1}\)

należy czytać tak: dla dużych \(\displaystyle{ n}\) wyrażenia \(\displaystyle{ \tg \frac{1}{2n}}\) oraz \(\displaystyle{ \frac{1}{2n}}\) są tego samego rzędu wielkości. A kryterium ilorazowe mówi w tej sytuacji, że wystarczy zbadać zbieżność szeregu

\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\frac{1}{2n}}{n^{3 \beta}},}\)

to wynik dla naszego szeregu będzie ten sam. Ogólnie to kryterium polega na tym, że czasem wolno uprościć szereg zastępując jakieś wyrażenie prostszym, które jest tego samego rzędu, co nie zmieni zbieżności szeregu.
Podsumowując: zastosuj kryterium ilorazowe z powyższym szeregiem.

Nie wiem czy dobrze rozumiem, ale w takim razie zrobiłbym to dalej tak :
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\frac{1}{2n}}{n^{3 \beta}}= \frac{1}{2} \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{1}{ n^{1+3 \beta } }}\) a zatem szereg bedzie zbiezny jesli \(\displaystyle{ 1+3 \beta > 1}\) czyli \(\displaystyle{ \beta >0}\), czy dobrze ?