Matematyka.pl

Witam wszystkich mam problem z tymi szeregami, nie wiem jak sprawdzić czy są zbieżne

1) \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{n^{n+ \frac{1}{n} }}{(n+ \frac{1}{n} )^{n}}}\)
2) \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{5+(-1)^n}{ \sqrt{n} }}\)
3) \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{1}{n( \sqrt{n+1}- \sqrt{n}) }}\)
4) \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{1}{2n} \cdot (1+ \frac{1}{n})^{n^2}}\)
W ostatnim korzystam z kryterium Cauchy'ego i wychodzi mi, \(\displaystyle{ \lim_{ n \to \infty } a_n = e}\) czyli szereg jest rozbieżny bo \(\displaystyle{ > 1}\) czy ten przykład jest dobrze rozwiązany?

1) Źle przepisałem, poprawiłem je i jak liczę z Cauchy'ego to granica wychodzi mi 1.
3) wyszło mi, że jest zbieżny
2) Podpowiesz jaki szereg zastosować do nierówności.

W pierwszym sprawdź, czy jest spełniony warunek konieczny zbieżności, tj. czy wyrazy dążą do zera.
2) \(\displaystyle{ 5+(-1)^{n} \ge 4}\), etc.
3) to się nie zgadza, pokaż przekształcenia.

3) Po sprzężeniu mam szereg postaci:

\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{ \sqrt{n+1} + \sqrt{n} }{n}}\)
I sprawdzam teraz warunek konieczny zbieżności szeregu:
\(\displaystyle{ \lim_{ n \to \infinity } \frac{ \sqrt{n+1} + \sqrt{n} }{n} = \frac{ \sqrt{n}( \sqrt{1+ \frac{1}{n} } + \sqrt{1} ) }{n} = \frac{ \sqrt{1 + \frac{1}{n}} + 1}{ \sqrt{n} } = \frac{2}{ \sqrt{n} }= 0}\)

Przekształcenia poprawne, zapis masz słaby (tutaj przecież nie sprawdzasz warunku koniecznego, który akurat jest spełniony, ponadto nie powinno być przedostatniej równości, itd.), ale wyszło Ci, że szereg jest rozbieżny. Dlaczego więc napisałeś, że jest zbieżny?

Omyłkowo wpisałem tam \(\displaystyle{ \infty}\) bo przecież \(\displaystyle{ \frac{2}{ \sqrt{n} }= 0}\)

W pierwszym wyszło mi, że jest rozbieżny z warunku koniecznego.

W pierwszym dobrze Ci wyszło.
A w trzecim nie pisałem, żebyś sprawdzał warunek konieczny (choć zawsze można tak zrobić).
Warunek konieczny nie jest tym samym, co dostateczny, pamiętaj.
Ale przekształcenia w 3) były poprawne; czy \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{1}{ \sqrt{n} }}\) jest zbieżny czy rozbieżny? Może wobec tego łatwo tu zastosować kryterium porównawcze?

Jest rozbieżny ale jak to zastosować do 3 korzystając z kryterium porównawczego to jest mniejsze od tego szeregu, który otrzymałem