Matematyka.pl

Witam, mam problem z dwoma poniższymi przykładami, proszę o pomoc:

\(\displaystyle{ \sum_{ n=1 }^{ \infty }\sin \left( \pi \frac{n+2}{6n+5} \right) - \frac{1}{2}}\)

\(\displaystyle{ \sum_{ n=1 }^{ \infty } \frac{1}{\ln (n!)}}\)



Jeśli chodzi o pierwszy szereg(mam tutaj rozważyć zbieżność warunkową i bezwzględną), nie bardzo wiem jak zabrać, jeśli wyrazy szeregu są zawsze dodatnie, bo sinus minimalnie ma wartość \(\displaystyle{ \frac{\pi}{ 6 }}\)
wiec każdy wyraz jest dodatni?

Jeśli chodzi o drugi szereg to tutaj mam udowodnić że jest zbieżny/rozbieżny, na pierwszy rzut oka widać, że jest zbieżny bo wyrazy bardzo szybko maleją, ale nie wiem jak mam to udowodnić nie" na pierwszy rzut oka".

W pierwszym połóż \(\displaystyle{ \frac{1}{2}=\sin \frac{\pi}{6}}\), zastosuj wzór na różnicę sinusów, a następnie przypomnij sobie, że dla małych \(\displaystyle{ x}\) mamy \(\displaystyle{ \sin x\approx x}\)
W drugim możesz użyć kryterium kondensacyjnego.

Prostsze rozwiązanie drugiego:

\(\displaystyle{ \frac{1}{\log(n!)} \ge \frac{1}{\log(n^n)} = \frac{1}{n\log(n)}}\)