Mam wykazać zbieżność i obliczyć ich sumę. Za bardzo nie wiem jak.
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } \ln \frac{(2n+1)n}{(n+1)(2n-1)}}\) tu nie wiem jak to zrobić w ogóle czy można zastosować \(\displaystyle{ \ln x < x ?}\)
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{ (2^{n}+ \cos n \pi )^2 }{ 5^{n-1} }}\) tu zamieniłem \(\displaystyle{ \cos}\) na \(\displaystyle{ (-1)^{n}}\) i zastosowałem wzór skróconego mnożenia ale co dalej?
zbadać zbieżność i obliczyć sumę.
-
jarek4700
- Użytkownik
- Posty: 939
- Rejestracja: 26 gru 2009, o 17:38
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Mazowsze
- Podziękował: 5 razy
- Pomógł: 228 razy
zbadać zbieżność i obliczyć sumę.
Pierwsze nie zupełnie, bo nic Ci to nie da. Za to użyj \(\displaystyle{ \ln(1+x) \le x}\).
Do policzenia sumy zauważ, że suma logarytmów to logarytm iloczynu.
W drugim zbieżność możesz pokazać przez oszacowanie:
\(\displaystyle{ \frac{\left(2^{n} + (-1)^{n}\right)^{2}}{5^{n-1}} < \frac{\left(2^{n} + 2^{n}\right)^{2}}{5^{n-1}} = \frac{4\cdot 2^{2n}}{5^{n-1}} = 20\cdot\left(\frac{4}{5}\right)^{n}}\)
Sumę policzysz normalnie, masz kilka szeregów geometrycznych.
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\left(2^{n} + (-1)^{n}\right)^{2}}{5^{n-1}} = 5 \sum_{n=1}^{\infty}\frac{2^{2n}}{5^{n}} + 5 \sum_{n=1}^{\infty}\frac{2\cdot(-1)^{n}2^{n}}{5^{n}} + 5 \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{(-1)^{2n}}{5^{n}} = \\ \\ = 5 \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{4}{5}\right)^{n} + 10 \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{-2}{5}\right)^{n} + 5 \sum_{n=1}^{ \infty } \left(\frac{1}{5}\right)^{n}}\)
Do policzenia sumy zauważ, że suma logarytmów to logarytm iloczynu.
W drugim zbieżność możesz pokazać przez oszacowanie:
\(\displaystyle{ \frac{\left(2^{n} + (-1)^{n}\right)^{2}}{5^{n-1}} < \frac{\left(2^{n} + 2^{n}\right)^{2}}{5^{n-1}} = \frac{4\cdot 2^{2n}}{5^{n-1}} = 20\cdot\left(\frac{4}{5}\right)^{n}}\)
Sumę policzysz normalnie, masz kilka szeregów geometrycznych.
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\left(2^{n} + (-1)^{n}\right)^{2}}{5^{n-1}} = 5 \sum_{n=1}^{\infty}\frac{2^{2n}}{5^{n}} + 5 \sum_{n=1}^{\infty}\frac{2\cdot(-1)^{n}2^{n}}{5^{n}} + 5 \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{(-1)^{2n}}{5^{n}} = \\ \\ = 5 \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{4}{5}\right)^{n} + 10 \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{-2}{5}\right)^{n} + 5 \sum_{n=1}^{ \infty } \left(\frac{1}{5}\right)^{n}}\)