Wyraz ogólny szeregu

SzachMatematyka · Post autor: **SzachMatematyka** » 9 mar 2015, o 17:16

Mając sumę częściową znaleźć wyraz ogólny szeregu:
\(\displaystyle{ S_n= \frac{n+1}{n}}\)
Moje rozwiązanie:
\(\displaystyle{ a_n=S_n- S_{n-1}}\)
\(\displaystyle{ a_n=\frac{n+1}{n} - \frac{n}{n-1} =\frac{-1}{(n-1)n}}\)
\(\displaystyle{ \sum_{n=2}^{ \infty } \frac{-1}{(n-1)n}}\)
W odpowiedzi jest: \(\displaystyle{ 2-\sum_{n=2}^{ \infty } \frac{1}{(n-1)n}}\)
Gdzie mam błąd?

Post autor: **Chromosom** » 9 mar 2015, o 17:22

SzachMatematyka pisze:Mając sumę częściową znaleźć wyraz ogólny szeregu:
\(\displaystyle{ S_n= \frac{n+1}{n}}\)
Moje rozwiązanie:
\(\displaystyle{ a_n=a_n- n_{n-1}}\)
\(\displaystyle{ a_n=\frac{n+1}{n} - \frac{n}{n-1} =\frac{-1}{(n-1)n}}\)

Należałoby napisać \(\displaystyle{ a_n=S_n-S_{n-1}}\), jednakże dalsze obliczenia są poprawne i w tym miejscu jest koniec rozwiązania. Jakie działanie wykonujesz poniżej?

SzachMatematyka pisze:\(\displaystyle{ \sum_{2}^{ \infty } \frac{-1}{(n-1)n}}\)

a4karo · Post autor: **a4karo** » 9 mar 2015, o 17:22

Prawie dobrze, tyle, że \(\displaystyle{ a_n=S_n-S_{n-1}}\)

Odpowiedź ksiązkowa jest oczywiście niepoprawna, bo nie zależy od \(\displaystyle{ n}\).

SzachMatematyka · Post autor: **SzachMatematyka** » 9 mar 2015, o 17:25

Poprawiłem, czyli wszystko teraz mam dobrze?

-- 9 mar 2015, o 17:29 --

Coś jest nie tak, bo np \(\displaystyle{ S_1=a_1=2}\) a szereg \(\displaystyle{ \sum_{n=2}^{ \infty } \frac{-1}{(n-1)n}}\) "nie ma wartości dla n=1"?

a4karo · Post autor: **a4karo** » 9 mar 2015, o 17:43

SzachMatematyka pisze:Poprawiłem, czyli wszystko teraz mam dobrze?

-- 9 mar 2015, o 17:29 --

Coś jest nie tak, bo np \(\displaystyle{ S_1=a_1=2}\) a szereg \(\displaystyle{ \sum_{n=2}^{ \infty } \frac{-1}{(n-1)n}}\) "nie ma wartości dla n=1"?

A czy \(\displaystyle{ n}\) jest kiedykolwiek użyte w tej sumie?
A sumowanie kiedys trzeba zaczać: \(\displaystyle{ a_1=S_1}\), a ty próbujesz \(\displaystyle{ a_1=S_1-S_0}\) ;P

SzachMatematyka · Post autor: **SzachMatematyka** » 9 mar 2015, o 17:50

a4karo pisze: A czy \(\displaystyle{ n}\) jest kiedykolwiek użyte w tej sumie?

Mógłbyś trochę jaśniej napisać bo niestety nie rozumiem.

a4karo pisze: A sumowanie kiedys trzeba zaczać: \(\displaystyle{ a_1=S_1}\), a ty próbujesz \(\displaystyle{ a_1=S_1-S_0}\)

Tego to już całkiem nie rozumiem.

a4karo · Post autor: **a4karo** » 9 mar 2015, o 18:38

PO prostu wzorek \(\displaystyle{ a_n=S_n-S_{n-1}}\) jest prawdziwy dla \(\displaystyle{ n\geq 2}\). Natomiast dla \(\displaystyle{ n=1}\) mamy \(\displaystyle{ a_1=S_1}\).

W wyrażeniu \(\displaystyle{ \sum_{n=2}^\infty -\frac{1}{n(n-1)}}\) \(\displaystyle{ n}\) nigdy nie jest równe 1. Ta suma to \(\displaystyle{ -\frac{1}{2\cdot 1}-\frac{1}{3\cdot 2}-\frac{1}{4\cdot 3}+\dots}\)