Matematyka.pl

Dobry wieczór, przychodzę do Państwa z następującą zagwozdką. Mam równość \(\displaystyle{ \sum _{i=k}^{n} a_{i} = \sum _{i=k+r}^{n+r} a_{i-r} = \sum _{i=k}^{n} a_{n+k-i} }\). Myślę, że rozumiem równość między pierwszą a drugą sumą, tzn. ma się zgadzać to, że jeżeli zaczynam od \(\displaystyle{ k+r}\) to na \(\displaystyle{ k+r}\) kończę, ale w indeksie przy \(\displaystyle{ a}\) odejmuję o tyle, o ile dodałem do wyrazu startowego, żeby mieć \(\displaystyle{ a_{i}}\) . Niezbyt rozumiem równość między pierwszą a trzecią sumą. Jeżeli ma być równość przy indeksie \(\displaystyle{ a_{n+k-i} = a_{i}}\) , to \(\displaystyle{ k}\) powinno chyba być \(\displaystyle{ 2i-n}\), czy o to chodzi? Biorąc to tak, jak jest, to wydaje się, że wyjdzie \(\displaystyle{ \sum _{i=k}^{n} a_{n+k-i} = n a_{n} }\), bo \(\displaystyle{ i=k,}\) czyli \(\displaystyle{ k-i=0.}\) Myślałem też, że może będzie się to sumowało od tyłu, czyli będzie \(\displaystyle{ a_{n} + a_{n-1}...+ a_{k-1} + a_{k}}\), ale tak raczej nie jest. Proszę o podpowiedzi, na co nie zwracam uwagi?

delt4cooper pisze: 10 paź 2024, o 20:56Jeżeli ma być równość przy indeksie \(\displaystyle{ a_{n+k-i} = a_{i}}\)

Nie ma być. Dlaczego miałoby? Chyba nie bardzo rozumiesz zasadę indeksowania. Wielkości \(\displaystyle{ k}\) i \(\displaystyle{ n}\) są ustalone.

delt4cooper pisze: 10 paź 2024, o 20:56Myślałem też, że może będzie się to sumowało od tyłu, czyli będzie \(\displaystyle{ a_{n} + a_{n-1}...+ a_{k-1} + a_{k}}\), ale tak raczej nie jest.

Dokładnie tak jest. Trzecia suma to pierwsza suma ze składnikami zapisanymi w odwrotnej kolejności.

JK