Mam problem ze zbadaniem zbieżności szeregu:
\(\displaystyle{ \sum_{n=2}^{ \infty } \frac{(-1)^n}{n+(-1)^n\cdot\sqrt{n}}}\)
Proszę o podpowiedź/pomoc. Dziękuję.
Szereg zbieżny warunkowo.
-
Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15688
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5221 razy
Re: Szereg zbieżny warunkowo.
Taki luźny pomysł:
\(\displaystyle{ \frac{1}{n+(-1)^n\cdot \sqrt{n}} = \frac{n-(-1)^n\cdot \sqrt{n}}{n^2-n}=\frac{1}{n-1}+ \frac{(-1)^{n+1}}{n^{\frac 3 2}-n^{\frac 1 2}}}\),
więc
\(\displaystyle{ \frac{(-1)^n}{n+(-1)^n\cdot\sqrt{n}}=\frac{(-1)^n}{n-1}-\frac{1}{n^{\frac 3 2}-n^{\frac 1 2}}}\)
Szereg \(\displaystyle{ \sum_{n=2}^{+\infty} \frac{(-1)^n}{n-1}}\) jest zbieżny (warunkowo) na mocy kryterium Leibniza.
Szereg \(\displaystyle{ \sum_{n=2}^{+\infty} \frac{1}{n^{\frac 3 2}-n^{\frac 1 2}}}\) jest zbieżny, gdyż np. \(\displaystyle{ 0<\frac{1}{n^{\frac 3 2}-n^{\frac 1 2}}\le \frac{2}{n^{\frac 3 2}}}\) dla \(\displaystyle{ n=2,3\ldots}\) (+kryterium porównawcze), zaś
jeśli \(\displaystyle{ \sum_{}^{} a_n}\) jest zbieżny i \(\displaystyle{ \sum_{}^{} b_n}\) jest zbieżny, to także
\(\displaystyle{ \sum_{}^{} (a_n+b_n)}\) jest zbieżny (czy to wymaga dowodu? Jeśli tak, to idzie on wprost z definicji i z twierdzenia o granicy sumy).
\(\displaystyle{ \frac{1}{n+(-1)^n\cdot \sqrt{n}} = \frac{n-(-1)^n\cdot \sqrt{n}}{n^2-n}=\frac{1}{n-1}+ \frac{(-1)^{n+1}}{n^{\frac 3 2}-n^{\frac 1 2}}}\),
więc
\(\displaystyle{ \frac{(-1)^n}{n+(-1)^n\cdot\sqrt{n}}=\frac{(-1)^n}{n-1}-\frac{1}{n^{\frac 3 2}-n^{\frac 1 2}}}\)
Szereg \(\displaystyle{ \sum_{n=2}^{+\infty} \frac{(-1)^n}{n-1}}\) jest zbieżny (warunkowo) na mocy kryterium Leibniza.
Szereg \(\displaystyle{ \sum_{n=2}^{+\infty} \frac{1}{n^{\frac 3 2}-n^{\frac 1 2}}}\) jest zbieżny, gdyż np. \(\displaystyle{ 0<\frac{1}{n^{\frac 3 2}-n^{\frac 1 2}}\le \frac{2}{n^{\frac 3 2}}}\) dla \(\displaystyle{ n=2,3\ldots}\) (+kryterium porównawcze), zaś
jeśli \(\displaystyle{ \sum_{}^{} a_n}\) jest zbieżny i \(\displaystyle{ \sum_{}^{} b_n}\) jest zbieżny, to także
\(\displaystyle{ \sum_{}^{} (a_n+b_n)}\) jest zbieżny (czy to wymaga dowodu? Jeśli tak, to idzie on wprost z definicji i z twierdzenia o granicy sumy).