Szereg nieskończony z sinusem.

vdrake6 · Post autor: **vdrake6** » 4 kwie 2015, o 23:47

Witam. Czy jest możliwość uzyskania postaci zwartej następującego szeregu?

\(\displaystyle{ \sum_{ k = 1 }^{\infty}\sin \left( 2k \pi c \right) k ^{-1} \ \ \ c \in \left( 0; 1 \right)}\)

Post autor: **Dasio11** » 5 kwie 2015, o 08:50

Jest, ale o ile wiem dowód jest dość długi. Wychodzi

\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{\infty} \frac{\sin 2 k \pi c}{k} = \frac{\pi - 2 \pi c}{2}.}\)

vdrake6 · Post autor: **vdrake6** » 5 kwie 2015, o 10:16

No to w takim razie bardzo dziękuję za pomoc. Tylko jeżeli mógłbyś przytoczyć konkretną pracę, lub stronę skąd się dowiedziałeś o tym fakcie .

Post autor: **Dasio11** » 5 kwie 2015, o 17:15

Niestety z wykładu, ale ma to związek z rozwijaniem funkcji \(\displaystyle{ f(x) = \frac{\pi - 2 \pi c}{2}}\) w szereg Fouriera na przedziale \(\displaystyle{ [0, 1].}\)

vdrake6 · Post autor: **vdrake6** » 5 kwie 2015, o 22:12

Aha, no to tak czy inaczej dziękuję. Do powyższego szeregu doszedłem właśnie z rozwijania \(\displaystyle{ x mod y}\) w szereg Fouriera i w sumie przydałaby się jakaś dodatkowa literatura do tego zagadnienia, bo póki co jestem w tym kompletnie zielony.

Post autor: **Dasio11** » 7 kwie 2015, o 10:36

Jedyna książka, jaką znam, to Fourier Series Rogosinskiego.