Matematyka.pl

Cześć.
Mam mały problem z takim oto zadankiem:

Zastosuj szereg Maclaurina do ustalenia rozwinięcia w szereg funkcji \(\displaystyle{ \ln(1+x)}\). Dla \(\displaystyle{ 1+x= \frac{b}{a} }\) , wykaż, że \(\displaystyle{ \frac{ b^{2} - a^{2} }{2ab} =x- \frac{ x^{2} }{2} + \frac{ x^{3} }{3} -... }\).
Następnie wykaż, że dla \(\displaystyle{ b}\) prawie równego \(\displaystyle{ a}\), \(\displaystyle{ \frac{ b^{2} - a^{2} }{2ab} }\) jest większe od \(\displaystyle{ \ln \frac{b}{a} }\) o około \(\displaystyle{ \frac{ (b-a)^{3} }{6 a^{3} } }\).
Generalnie z rozwinięciem \(\displaystyle{ \ln(x+1)}\) w szereg nie mam problemu. Dochodzę do momentu w kórym podstawiam \(\displaystyle{ \frac{b-a}{a} }\) za \(\displaystyle{ x}\) w szereg ale nie wiem co dalej. Tzn. dochodzę do \(\displaystyle{ \ln(1+x)= \frac{b-a}{a} - \frac{(b-a) ^{2} }{2 a^{2} } + \frac{ (b-a)^{3} }{3 a^{3} } -...}\).
Proszę o pomoc.

SemastianM pisze: 14 lip 2024, o 13:10Dla \(\displaystyle{ 1+x= \frac{b}{a} }\) , wykaż, że \(\displaystyle{ \frac{ b^{2} - a^{2} }{2ab} =x- \frac{ x^{2} }{2} + \frac{ x^{3} }{3} -... }\).

Prawa strona to \(\displaystyle{ \ln (1+x)}\) a lewa jest funkcją wymierną zmiennej \(\displaystyle{ x}\), więc ta równość nie jest prawdziwa.

nawet jeśli w mianowniku przy trzeciej potędze damy 2 zamiast 3| (machnąłem się przy przepisywaniu)