Matematyka.pl

Witam.

Problem ze startem takiego zadania:

Pierwszy wyraz nieskończonego ciągu geometrycznego \(\displaystyle{ a_{n} }\) jest równy 7, a suma wszystkich jego wyrazów u numerach nieparzystych jest o 4 większa od sumy wszystkich wyrazów o numerach parzystych.

Obliczyć sumę wszystkich wyrazów ciągu \(\displaystyle{ a_{n} }\).

Dzieki za pomoc

Wsk. Oba te ciągi też są geometryczne

Coś więcej poproszę

Przyjmij, że iloraz wyjściowego ciągu to \(\displaystyle{ q}\) i wypisz składniki obu tych sum.

JK

\(\displaystyle{ \frac{7}{1-q^2} = 4 + \frac{a_2}{1-q^2} }\)

cos takiego wymysliłem, ale totalnie chyba błądze.

Jaki jest związek między `a_2`, `a_1` i `q`?

\(\displaystyle{ a_{1} = 7, \ \ a_{n} = a_{1}\cdot q^{n-1}. }\)

Z treści zadania:

\(\displaystyle{ a_{1} + a_{3} + a_{5} + \ \ ... \ \ - a_{2} -a_{4} - a_{6} -\ \ ... = 4,}\)

\(\displaystyle{ a_{1} + a_{1}q^2 + a_{1}q^4 + \ \ ... -\ \ a_{1}q -a_{1}q^3 - a_{1}q^5 - \ \ ... = 4.}\)

Ze wzoru na sumę nieskończonego ciągu geometrycznego:

\(\displaystyle{ \frac{a_{1}}{1 -q^2} - \frac{a_{1}q}{1 -q^2} = 4, }\)

\(\displaystyle{ \left(\frac{7}{1 - q^2} - \frac{7q}{1- q^2}\right) = 4,}\)

\(\displaystyle{ 7 \left(\frac{1}{1-q^2} - \frac{q}{1 -q^2} \right) = 4,}\)

\(\displaystyle{ \left(\frac{1}{1-q^2} - \frac{q}{1 -q^2} \right) = \frac{4}{7}, }\)

\(\displaystyle{ \frac{1 - q}{1-q^2} = \frac{4}{7}, \ \ q\neq 1, }\)

\(\displaystyle{ \frac{1-q}{(1-q)(1+q)} = \frac{4}{7}, }\)

\(\displaystyle{ \frac{1}{1+q} = \frac{4}{7}, }\)

\(\displaystyle{ 4 +4q = 7, \ \ q = \frac{3}{4}. }\)

Suma nieskończonego ciągu geometrycznego:

\(\displaystyle{ S = \frac{a_{1}}{1-q}, }\)

\(\displaystyle{ S = \frac{7}{1 -\frac{3}{4}} = \frac{7}{\frac{1}{4}} = 7 \cdot \frac{4}{1} = 28.}\)

Nie mogłeś poczekać, aż chłopak sam spróbuje?

JK

Mogłem poczekać. Chłopiec długo próbował i czułem, że nic nie wypróbuje. Nie chciałem zostawiać tego ładnego i ważnego zadania z ciągów bez rozwiązania.

Dodano po 5 minutach 7 sekundach:
Zauważyłem, że uczniowie mają problem z zadaniami dotyczącymi ciągów arytmetycznego i geometrycznego, w których należy wyodrębnić wyrazy o numerach parzystych i nieparzystych.

Ogarnąłem wcześniej, brak czasu spowodowal że nie podziękowalem.

Dziękuje ślicznie za pomoc

janusz47 pisze: ↑7 mar 2023, o 18:05 \(\displaystyle{ a_{1} = 7, \ \ a_{n} = a_{1}\cdot q^{n-1}. }\)

Z treści zadania:

\(\displaystyle{ a_{1} + a_{3} + a_{5} + \ \ ... \ \ - a_{2} -a_{4} - a_{6} -\ \ ... = 4,}\)

\(\displaystyle{ a_{1} + a_{1}q^2 + a_{1}q^4 + \ \ ... -\ \ a_{1}q -a_{1}q^3 - a_{1}q^5 - \ \ ... = 4.}\)

Ze wzoru na sumę nieskończonego ciągu geometrycznego:

\(\displaystyle{ \frac{a_{1}}{1 -q^2} - \frac{a_{1}q}{1 -q^2} = 4, }\)

\(\displaystyle{ \left(\frac{7}{1 - q^2} - \frac{7q}{1- q^2}\right) = 4,}\)

\(\displaystyle{ 7 \left(\frac{1}{1-q^2} - \frac{q}{1 -q^2} \right) = 4,}\)

\(\displaystyle{ \left(\frac{1}{1-q^2} - \frac{q}{1 -q^2} \right) = \frac{4}{7}, }\)

\(\displaystyle{ \frac{1 - q}{1-q^2} = \frac{4}{7}, \ \ q\neq 1, }\)

\(\displaystyle{ \frac{1-q}{(1-q)(1+q)} = \frac{4}{7}, }\)

\(\displaystyle{ \frac{1}{1+q} = \frac{4}{7}, }\)

\(\displaystyle{ 4 +4q = 7, \ \ q = \frac{3}{4}. }\)

Suma nieskończonego ciągu geometrycznego:

\(\displaystyle{ S = \frac{a_{1}}{1-q}, }\)

\(\displaystyle{ S = \frac{7}{1 -\frac{3}{4}} = \frac{7}{\frac{1}{4}} = 7 \cdot \frac{4}{1} = 28.}\)

To rozwiązanie zawiera lukę, którą co prawda da się naprawić, ale trzeba się trochę nakombinowac:
\(\displaystyle{ a_{1} + a_{1}q^2 + a_{1}q^4 + \ \ ... -\ \ a_{1}q -a_{1}q^3 - a_{1}q^5 - \ \ ... = 4.}\)
Czym jest to dziwne wyrażenie?

Chodzi Ci o różnicę dwóch granic sum skończonych.

Jakich granic? Jeżeli już, to szeregów. Ale uczniowie nie znają żadnych twierdzeń o sumach czy różnicach szeregów. Swoją drogą ciekawe czy potrafisz zdefiniować czym jest wyrażenie `a_1+a_2_...+b_1+b_2+...` , bo szereg to to nie jest. I suma szeregów też nie, bo to się definiuje jako `(a_1+b_1)+(a_2+b_2)+...` i nawet jeżeli to jest szereg geometryczny, to trzeba to pokazać i zastosować odpowiedni wzór na sumę.

Nie wiem o co Ci chodzi. Brak nawiasów?

Dodano po 32 minutach 57 sekundach:
Mamy ciąg geometryczny nieskończony:

\(\displaystyle{ (a_{n}) = (a_{1}, \ \ a_{1}q, \ \ a_{1}q^2, \ \ ..., \ \ a_{1}q^{n},\ \ ...) }\)

Tworzymy ciąg sum częściowych:

\(\displaystyle{ (S_{n}) =( S_{1} = a_{1}, S_{2}= a_{1}+ a_{1} q , \ \ ...\ \ S_{n} = a_{1} + a_{1 }q + \ \ ... + \ \ a_{1} q^{n} \ \ ... ) }\)

Jeżeli ciąg sum częściowych \(\displaystyle{ (S_{n}) }\) ma granicę \(\displaystyle{ S, }\) to granićę tą nazywamy sumą nieskończonego ciągu geometrycznego lub sumą szeregu geometrycznego..

W programie rozszerzonym matematyki uczniowie mają ciąg nieskońcony i szereg geometryczny.

No to pokaż gdzie w swoim rozwiązaniu piszesz o ciągu sum częściowych.
Naprawdę nie widzisz, że potworek `a_1+a_3+a_5...-a_2-a_4-a_6` nie wygląda jak szereg geometryczny?
A ciągi sum częściowych dla tego potworka jak wyglądają? `S_{\infty+1}=a_1+a_3+...-a_2`???