Matematyka.pl

Mam problem z takim przykładem :

Oblicz sumę szeregu \(\displaystyle{ \sum_{k=2}^{ \infty }}\)\(\displaystyle{ \frac{k+1}{(k-1)!}}\)

Pierwszy raz się z takim przykładem spotykam, i niestety nie wiem jak go rozwiązać. Wyczytałem tylko że muszę skorzystać z rozwinięcia liczby e. Tyle że nie wiem w jaki sposób ma to wyglądać. Czy znalazł by ktoś czas aby pokazać na tym lub innym przykładzie jak się to robi, tak abym mógł to przeanalizować i zrozumieć ?

\(\displaystyle{ \sum_{k=2}^{ \infty } \frac{k+2}{(k-1)!} = \sum_{k=2}^{ \infty } \frac{(k-1)+2}{k!(k-1)} = \sum_{k=2}^{ \infty } \frac{1}{k!} + \sum_{k=2}^{ \infty } \frac{2}{k!(k-1)} =e+ \sum_{k=2}^{ \infty } \frac{2}{k!(k-1)}}\)

Dobrze zrobiłem ?

poprawione

no tak mianownik źle rozłożyłem

\(\displaystyle{ n! = (n-1)! \cdot n \\[1ex]
(n-1)! = \frac{n!}{n}}\)

-- 1 lut 2015, o 22:37 --

dobra bez rozkładania mianownika - rozbicie na dwa szzeregi

\(\displaystyle{ \sum_{k=2}^{ \infty } \frac{k+2}{(k-1)!} = \sum_{k=2}^{ \infty } \frac{(k-1)+2}{(k-1)!} = \sum_{k=2}^{ \infty } \frac{(k-1)}{(k-1)!} + \sum_{k=2}^{ \infty } \frac{2}{(k-1)!}}\)

-- 1 lut 2015, o 22:46 --

hmm, ciężko bd pozbyc sie tej silnii, brak pomysłu, mogę liczyc na jakąś podpowiedz ? zalezy mi na tym typie zadan bo moze wystąpic na egzaminie a niestety nie przerabialismy go na cwiczeniach.