Matematyka.pl

Cześć!
Nie potrafię sobie poradzić z takim szeregiem:

\(\displaystyle{ \sum_{ n=0 }^{\infty}(3n+1)x^{n}}\)

Wiem, że w takich wypadkach należy korzystać z twierdzeń o całkowaniu i różniczkowaniu szeregu, ale jak pozbyć się tego 3n? Przecież nie mogę obustronnie pomnożyć np. przez \(\displaystyle{ x^{2n}}\)

\(\displaystyle{ (3n+1)x^n=3nx^n+x^n}\)

Podziel na dwa i policz każdy osobno.

Męczę się strasznie, ponieważ nie potrafię się pozbyć tego:\(\displaystyle{ 3n}\) jakieś wskazówki?

\(\displaystyle{ 3n=3\cdot n}\) i 3 można wyłączyć przed sumę

Ok to wiem ale jak z tym \(\displaystyle{ n}\)-em, całkując czy różniczkując nic nie osiągnę
Chyba ,że coś źle rozumiem?

\(\displaystyle{ nx^n=(n+1)x^n-x^n=(x^{n+1})' -x^n}\)

albo inaczej,

\(\displaystyle{ \sum\limits_{n=0}^\infty nx^n=\sum\limits_{n=0}^\infty \sum\limits_{k=n}^{\infty} x^k}\)

i wzór na sumę szeregu geometrycznego.

Można to też policzyć przez funkcje tworzące.