Matematyka.pl

Pokazać, że \(\displaystyle{ \ln(1+x)}\) rozwija się w szereg Taylora.
Jak to zrobić?

Z twierdzenia Taylora i warunku rozwijalności w szereg.

To wiem, ale nie mam niestety żadnego pomysłu.
Można prosić o pomoc?

Mamy \(\displaystyle{ f: (-1; + \infty) \rightarrow \mathbb R \wedge f(x) = \ln (1+x)}\)

1. Liczby rzeczywiste - są czy nie są przestrzenią unormowaną?
2. Sprawdzamy czy w pewnym punkcie \(\displaystyle{ x_0 \in (-1; + \infty)}\) zachodzi warunek konieczny rozwijalności w szereg, tj. nieskończona możliwość różniczkowalności.
3. Sprawdzamy warunek wystarczający - zbieżność reszty we wzorze Taylora do zera

Chyba nic nie pominąłem

Zalecam \(\displaystyle{ x_0 = 0}\)

A w jaki sposób pokazać, że reszta we wzorze Taylora zbiega do \(\displaystyle{ 0}\) ? Przecież chociażby dla \(\displaystyle{ x}\) bliskiego \(\displaystyle{ -1}\), pochodna dowolnego rzędu rośnie bardzo szybko.

Ah no przecież...
Ważne jest, że tutaj mamy określony jeszcze promień zbieżności. Można pokazać, że

\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} R_n(x, 0) = 0}\) dla \(\displaystyle{ -1 < x \le 1}\)

Otóż:
\(\displaystyle{ \ln^{(n+1)} (t+1) = (-1)^n \frac{n!}{(t+1)^{n+1}}}\)

Stąd
\(\displaystyle{ R_n (x, 0) = \frac{x^{n+1}}{n!} (1-\theta)^{n}(-1)^n \frac{n!}{(\theta x+1)^{n+1}}}\)
Jest resztą w postaci Cauchy'ego dla \(\displaystyle{ x_0 = 0}\)


\(\displaystyle{ R_n (x, 0) = (-1)^n \frac{x^{n+1} (1- \theta)^n}{(\theta x +1)^{n+1}} = (-1)^n x^{n+1} \frac{(1- \theta)^n}{(1+x \theta)^{n+1}}}\).

Teraz widać, że dla \(\displaystyle{ -1 < x \le 1, x^{n+1}}\) zbiega do zera (lub wynosi \(\displaystyle{ 1}\) dla \(\displaystyle{ x=1}\), ale to nie ma znaczenia w świetle tego co zaraz), zaś ułamek ma w liczniku liczbę, która jest zawsze mniejsza niż ta w mianowniku, bo \(\displaystyle{ \theta \in [0; 1]}\), więc też zbiega do zera; \(\displaystyle{ (-1)^n}\) nie ma wpływu na zbieżność (tylko zmienia znak) stąd cała reszta zbiega do zera, gdy \(\displaystyle{ n \to \infty}\)

kwaw, no ale przecież punkt \(\displaystyle{ -1}\) nie należy do dziedziny funkcji \(\displaystyle{ \ln(1+x)}\), więc nie rozważasz rozwinięcia wokół tego punktu. To, co piszesz, może najwyżej powodować, że np. ten szereg nie będzie jednostajnie zbieżny w \(\displaystyle{ (-1,1)}\).
Pokażę dla rozwinięcia wokół zera, dla \(\displaystyle{ x\in (-1, 1)}\) (BTW treść jest jak dla mnie troszkę nieścisła: pokazać, że rozwija się w szereg Taylora w ustalonym punkcie z dziedziny, w każdym punkcie z dziedziny, czy co?):
ustalmy \(\displaystyle{ x\in (-1,1)}\), wówczas mamy ze wzoru Maclaurina z resztą w postaci całkowej
\(\displaystyle{ \ln(1+x)=x-\frac{x}{2}+\frac{x}{3}+\ldots+(-1)^{n+1}\frac{x^n}{n}+ \int_{0}^{x} \frac{(x-t)^n}{n!} (-1)^{n+2}n! \frac{1}{(1+t)^{n+1}} \,\dd t}\)
gdyż \(\displaystyle{ n+1.}\) pochodna funkcji \(\displaystyle{ \ln(1+t)}\) równa jest \(\displaystyle{ (-1)^{n+2}n!(1+t)^{-n-1}}\)
Ponadto \(\displaystyle{ \frac{(x-t)^n}{(1+t)^{n+1}}=\frac{1}{1+t}\cdot\left( \frac{x-t}{1+t}\right)^n}\) i skoro \(\displaystyle{ x \in (-1, 1)}\) oraz \(\displaystyle{ t\in (\min\left\{ x,0\right\} ,\max\left\{ x,0\right\} )}\), to
\(\displaystyle{ \left| \left( \frac{x-t}{1+t}\right)^n\right| =\left|\frac{x-t}{1+t}\right|^n\le |x|^n}\)
(ta ostatnia nierówność wymaga dowodu, ale to proste rozważenie przypadków \(\displaystyle{ x>0, \ t\in [0,x]}\) oraz \(\displaystyle{ x<0, \ t\in [x,0]}\)).
Zatem możemy oszacować wartość bezwzględną tej całki w dość prosty sposób (moduł całki nie większy od całki z modułu i dalej lecimy z tym szacowaniem).-- 6 maja 2018, o 00:58 --Widzę, że PoweredDragon mnie wyprzedził, a w dodatku chyba niepotrzebnie użyłem reszty w postaci całkowej, ale trudno.