Wykazać zbieżność i obliczyć sumę szeregu \(\displaystyle{ 1 + \frac{1}{2} - \frac{1}{3}+ \frac{1}{4} - \frac{1}{5} - \frac{1}{6} + \frac{1}{8}+ ....}\)
gdzie znaki + jeśli mianownik jest równy \(\displaystyle{ 1, 2, 4 \bmod \ 7}\);
- jeśli mianownik jest równy \(\displaystyle{ 3, 5, 6 \bmod \ 7}\)
składników \(\displaystyle{ 0 \bmod \ 7}\) nie ma.
Pomieszane znaki
-
mol_ksiazkowy
- Użytkownik
- Posty: 13374
- Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 3425 razy
- Pomógł: 809 razy
Pomieszane znaki
Ostatnio zmieniony 3 cze 2025, o 23:44 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.
-
a4karo
- Użytkownik
- Posty: 22459
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 43 razy
- Pomógł: 3852 razy
Re: Pomieszane znaki
Prawdziwy jest ogólniejszy fakt:
Niech \(\displaystyle{ a_1, a_2,\dots,a_N}\) będą liczbami rzeczywistymi o sumie zerowej. Wtedy szereg
\(\displaystyle{ \frac{a_{\sigma_0(1)}}{0\cdot N+1}+\frac{a_{\sigma_0(2)}}{0\cdot N+2}+\dots+\frac{a_{\sigma_0(N)}}{0\cdot N+N}\\
\frac{a_{\sigma_1(1)}}{1\cdot N+1}+\frac{a_{\sigma_1(2)}}{1\cdot N+2}+\dots+\frac{a_{\sigma_1(N)}}{1\cdot N+N}\\
\frac{a_{\sigma_2(1)}}{2\cdot N+1}+\frac{a_{\sigma_2(2)}}{2\cdot N+2}+\dots+\frac{a_{\sigma_2(N)}}{2\cdot N+N}\\
+...}\)
jest zbieżny (\(\displaystyle{ \sigma_i}\) sa dowolnymi permutacjami zbioru \(\displaystyle{ \{1,...,N\}}\))
Niech \(\displaystyle{ a_1, a_2,\dots,a_N}\) będą liczbami rzeczywistymi o sumie zerowej. Wtedy szereg
\(\displaystyle{ \frac{a_{\sigma_0(1)}}{0\cdot N+1}+\frac{a_{\sigma_0(2)}}{0\cdot N+2}+\dots+\frac{a_{\sigma_0(N)}}{0\cdot N+N}\\
\frac{a_{\sigma_1(1)}}{1\cdot N+1}+\frac{a_{\sigma_1(2)}}{1\cdot N+2}+\dots+\frac{a_{\sigma_1(N)}}{1\cdot N+N}\\
\frac{a_{\sigma_2(1)}}{2\cdot N+1}+\frac{a_{\sigma_2(2)}}{2\cdot N+2}+\dots+\frac{a_{\sigma_2(N)}}{2\cdot N+N}\\
+...}\)
jest zbieżny (\(\displaystyle{ \sigma_i}\) sa dowolnymi permutacjami zbioru \(\displaystyle{ \{1,...,N\}}\))
-
arek1357
Re: Pomieszane znaki
jak obliczyć coś takiego np.:
bo są trzy sumy z plusem i trzy z minusem więc je parujmy i otrzymamy coś takiego np.:
\(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{ \infty } \frac{1}{7n+1} -\sum_{n=0}^{ \infty } \frac{1}{7n+3} =2\sum_{n=0}^{ \infty } \frac{1}{(7n+1)(7n+3)} }\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{(7n+1)(7n+3)}= \frac{1}{7n+1} - \frac{1}{7n+3} = \int_{0}^{1} \left( z^{7n}-z^{7n+2}\right) dz}\)
obłóżmy to sumo-funkcją:
\(\displaystyle{ f(x)= \sum_{n=0}^{ \infty } \frac{x^{7n+1}}{(7n+1)(7n+3)} = \int_{0}^{1} \sum_{n=0}^{ \infty } x^{7n+1}z^{7n}(1-z^2)dz= \int_{0}^{1} (1-z^2)x\left( \sum_{n=0}^{ \infty } x^{7n}z^{7n}\right) dz}\)
\(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{ \infty } x^{7n}z^{7n}=\sum_{n=0}^{ \infty }( xz)^{7n}= \frac{1}{1-(xz)^7} }\)
mamy do policzenia funkcjo-całkę:
\(\displaystyle{ f(x)=x \int_{0}^{1} \frac{1-z^2}{1-(xz)^7} dz}\)
więc szukana nasza suma będzie to:
\(\displaystyle{ f(x)=?}\)
problem w tym, że nie mam weny do liczenia tej całki...
po podstawieniu:
\(\displaystyle{ xz=y}\)
otrzymamy:
\(\displaystyle{ f(x)=\int_{0}^{x} \frac{dy}{1-y^7} - \frac{1}{x^2} \int_{0}^{x} \frac{y^2dy}{1-y^7}}\)
więc wydaje się to być całką dla pałkoszy...
wniosek z tego taki, że jakby pewnie była inna ilość znaków plus i inna minus to zasadniczo zbieżności by nie było na co wskazuje zwykła logika zwykłego hydraulika...
bo są trzy sumy z plusem i trzy z minusem więc je parujmy i otrzymamy coś takiego np.:
\(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{ \infty } \frac{1}{7n+1} -\sum_{n=0}^{ \infty } \frac{1}{7n+3} =2\sum_{n=0}^{ \infty } \frac{1}{(7n+1)(7n+3)} }\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{(7n+1)(7n+3)}= \frac{1}{7n+1} - \frac{1}{7n+3} = \int_{0}^{1} \left( z^{7n}-z^{7n+2}\right) dz}\)
obłóżmy to sumo-funkcją:
\(\displaystyle{ f(x)= \sum_{n=0}^{ \infty } \frac{x^{7n+1}}{(7n+1)(7n+3)} = \int_{0}^{1} \sum_{n=0}^{ \infty } x^{7n+1}z^{7n}(1-z^2)dz= \int_{0}^{1} (1-z^2)x\left( \sum_{n=0}^{ \infty } x^{7n}z^{7n}\right) dz}\)
\(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{ \infty } x^{7n}z^{7n}=\sum_{n=0}^{ \infty }( xz)^{7n}= \frac{1}{1-(xz)^7} }\)
mamy do policzenia funkcjo-całkę:
\(\displaystyle{ f(x)=x \int_{0}^{1} \frac{1-z^2}{1-(xz)^7} dz}\)
więc szukana nasza suma będzie to:
\(\displaystyle{ f(x)=?}\)
problem w tym, że nie mam weny do liczenia tej całki...
po podstawieniu:
\(\displaystyle{ xz=y}\)
otrzymamy:
\(\displaystyle{ f(x)=\int_{0}^{x} \frac{dy}{1-y^7} - \frac{1}{x^2} \int_{0}^{x} \frac{y^2dy}{1-y^7}}\)
więc wydaje się to być całką dla pałkoszy...
wniosek z tego taki, że jakby pewnie była inna ilość znaków plus i inna minus to zasadniczo zbieżności by nie było na co wskazuje zwykła logika zwykłego hydraulika...