Matematyka.pl

Witam.
Potrzebuję pomocy w rozwiązaniu zadania, bo nie mam bladego pojęcia jak się za niego zabrać.

Treść:
Rozwinąć funkcję :
a) Maclaurin:

\(\displaystyle{ f(x) = \ln \sqrt[3]{\frac{1+2x}{1-x}}}\)

b) Taylor:
\(\displaystyle{ g(x)= \frac{1}{x}}\) w otoczeniu \(\displaystyle{ x_0=3}\)

Z góry dzięki za pomoc.

W zad.a) potrzebne beda nastepujace rozwiniecia (mozna je latwo wyprowadzic z szeregu geometrycznego)
\(\displaystyle{ \textrm{ln}(1-x)= - \sum^{\infty}_{n=1} \frac{x^n}n\quad\text{ dla}\;\; |x| < 1}\)

\(\displaystyle{ \textrm{ln}(1+x) = \sum^\infty_{n=1} (-1)^{n+1}\frac{x^n}n\quad\text{ dla } |x| < 1}\)

Itak

\(\displaystyle{ \textrm{ln}\sqrt[3]{\frac{1+2x}{1-x}}=\frac{1}{3}\Big(\textrm{ln}(1+2x)-\textrm{ln}(1-x)\Big)}\)
Drugi logarytm mamy wprost ze wzoru, a pierwszy rozwinie sie tak:

\(\displaystyle{ \textrm{ln}(1+2x)=\sum^\infty_{n=1} (-1)^{n+1}\frac{(2x)^n}n=\sum^\infty_{n=1} (-1)^{n+1}2^n\frac{x^n}n}\)
I dodaj sobie te szeregi potegowe.

b) Wykorzystamy szereg geometryczny

\(\displaystyle{ \frac{1}{1-x} = \sum^\infty_{n=0} x^n\quad\text{ przy }|x| < 1}\)

\(\displaystyle{ \frac{1}{x}=\frac{1}{3+(x-3)}=\frac{1}{3}\frac{1}{1-\frac{-(x-3)}{3}}}\)

Wstaw do szeregu geometrycznego wyzej i gotowe.