Niech \(\displaystyle{ x }\) będzie liczbą rzeczywistą i ciag \(\displaystyle{ x_n}\) będzie określony \(\displaystyle{ x_1=1}\) i \(\displaystyle{ x_{n+1} = x^n+nx_n}\) dla \(\displaystyle{ n \geq 1}\). Udowodnić, że \(\displaystyle{ \prod_{n=1}^{\infty} (1- \frac{x^n}{x_{n+1}} )=e^{-x} }\).Lemat o iloczynie
-
mol_ksiazkowy
- Użytkownik
- Posty: 13433
- Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 3429 razy
- Pomógł: 809 razy
Lemat o iloczynie
Niech \(\displaystyle{ x }\) będzie liczbą rzeczywistą i ciag \(\displaystyle{ x_n}\) będzie określony \(\displaystyle{ x_1=1}\) i \(\displaystyle{ x_{n+1} = x^n+nx_n}\) dla \(\displaystyle{ n \geq 1}\). Udowodnić, że \(\displaystyle{ \prod_{n=1}^{\infty} (1- \frac{x^n}{x_{n+1}} )=e^{-x} }\).-
arek1357
Re: Lemat o iloczynie
Nie wdając się w dyskusje ten iloczyn po drobnych przekształceniach (na poziomie klasy IV) wyglądać powinien tak:
\(\displaystyle{ \frac{1}{x+1} \cdot \frac{2x+2}{x^2+2x+2} \cdot \frac{3x^2+6x+6}{x^3+3x^2+6x+6} \cdot ...}\)
Poza tym ładnie się skraca mianownik tego z lewej z licznikiem swego sąsiada z prawej...
łatwo zauważyć, że:
- licznik jest pochodną mianownika
- w mianowniku jest suma kolejnych pochodnych wyrazu: \(\displaystyle{ x^n}\)
W konsekwencji wszystko się skraca do:
\(\displaystyle{ \frac{n!}{x^n+(x^n)'+(x^n)''+(x^n)'''+...+n!} }\)
Jak podzielimy licznik i mianownik przez n! to otrzymamy:
\(\displaystyle{ \frac{1}{1+ \frac{1}{1!}x+ \frac{1}{2!}x^2+ \frac{1}{3!}x^3+...+ \frac{1}{n!}x^n } \rightarrow \frac{1}{e^x} =e^{-x} }\)
Co jak widać na załączonym obrazku, cnd...
Wersja dla tych co nie wiedzą (lub nie zdają sobie z tego sprawy) jak niebezpieczne są zabawy z nieskończonością...
\(\displaystyle{ \frac{1}{x+1} \cdot \frac{2x+2}{x^2+2x+2} \cdot \frac{3x^2+6x+6}{x^3+3x^2+6x+6} \cdot ...}\)
Poza tym ładnie się skraca mianownik tego z lewej z licznikiem swego sąsiada z prawej...
łatwo zauważyć, że:
- licznik jest pochodną mianownika
- w mianowniku jest suma kolejnych pochodnych wyrazu: \(\displaystyle{ x^n}\)
W konsekwencji wszystko się skraca do:
\(\displaystyle{ \frac{n!}{x^n+(x^n)'+(x^n)''+(x^n)'''+...+n!} }\)
Jak podzielimy licznik i mianownik przez n! to otrzymamy:
\(\displaystyle{ \frac{1}{1+ \frac{1}{1!}x+ \frac{1}{2!}x^2+ \frac{1}{3!}x^3+...+ \frac{1}{n!}x^n } \rightarrow \frac{1}{e^x} =e^{-x} }\)
Co jak widać na załączonym obrazku, cnd...
Wersja dla tych co nie wiedzą (lub nie zdają sobie z tego sprawy) jak niebezpieczne są zabawy z nieskończonością...
Ukryta treść: