Ładna suma
-
mol_ksiazkowy
- Użytkownik
- Posty: 13436
- Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 3429 razy
- Pomógł: 809 razy
Ładna suma
Udowodnić, że \(\displaystyle{ \sum_{n=4}^{+\infty} \sum_{k=2}^{n-2} \frac{1}{k {n \choose k}} = \frac{1}{2} }\).
-
Janusz Tracz
- Użytkownik
- Posty: 4120
- Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: hrubielowo
- Podziękował: 82 razy
- Pomógł: 1417 razy
Re: Ładna suma
Punkty na kracie \(\displaystyle{ (n,k)\in \NN^2}\) które są istotne dla sumy to oczywiście takie punkty, które spełniają dwa warunki
\(\displaystyle{ 4\le n \qquad \& \qquad 2\le k\le n-2. }\)
Warunek ten można jednak zapisać inaczej \(\displaystyle{ 2\le k \qquad \& \qquad k+2\le n. }\)
Co oznacza, że \(\displaystyle{ \sum_{n=4}^{\infty} \sum_{k=2}^{n-2} a_{nk} = \sum_{k=2}^{\infty} \sum_{n=k+2}^{\infty} a_{nk}.}\)
Mamy więc \(\displaystyle{
\begin{split}
\sum_{n=4}^{\infty} \sum_{k=2}^{n-2} \frac{1}{k {n \choose k}} &= \sum_{k=2}^{\infty} \sum_{n=k+2}^{\infty} \frac{1}{k {n \choose k}} \\[1ex]
&= \sum_{k=2}^{\infty} \sum_{n=k+2}^{\infty} \frac{1}{k-1} \bigg( \frac1{\binom{n-1}{k-1}}-\frac1{\binom{n}{k-1}} \bigg) \\[1ex]
&= \sum_{k=2}^{\infty} \frac{1}{k-1} \frac{1}{ {k+1 \choose k-1} } \\[1ex]
&= \sum_{k=2}^{\infty} \frac{2}{(k-1)k(k+1)} \\[1ex]
&= \sum_{k=2}^{\infty} \left( \bigg( \frac{1}{k+1}- \frac{1}{k} \bigg) - \bigg( \frac{1}{k} - \frac{1}{k-1} \bigg) \right) \\[1ex]
&= \frac{1}{2}.
\end{split}
}\)
\begin{split}
\sum_{n=4}^{\infty} \sum_{k=2}^{n-2} \frac{1}{k {n \choose k}} &= \sum_{k=2}^{\infty} \sum_{n=k+2}^{\infty} \frac{1}{k {n \choose k}} \\[1ex]
&= \sum_{k=2}^{\infty} \sum_{n=k+2}^{\infty} \frac{1}{k-1} \bigg( \frac1{\binom{n-1}{k-1}}-\frac1{\binom{n}{k-1}} \bigg) \\[1ex]
&= \sum_{k=2}^{\infty} \frac{1}{k-1} \frac{1}{ {k+1 \choose k-1} } \\[1ex]
&= \sum_{k=2}^{\infty} \frac{2}{(k-1)k(k+1)} \\[1ex]
&= \sum_{k=2}^{\infty} \left( \bigg( \frac{1}{k+1}- \frac{1}{k} \bigg) - \bigg( \frac{1}{k} - \frac{1}{k-1} \bigg) \right) \\[1ex]
&= \frac{1}{2}.
\end{split}
}\)