Mam przykład:
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{n!}{(a+1)(a+2) \cdot ... \cdot (a+n)} }\)
Z kryterium Raabego:
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \frac{n!}{(a+1)(a+2) \cdot ... \cdot (a+n)} \cdot \frac{(a+1)(a+2) \cdot ... \cdot (a+n)(a+n+1)}{(n+1)!} = \lim_{n \to \infty } \frac{a+n+1}{n+1} }\)
Co dalej? W odpowiedziach jest napisane że szereg rozbieżny dla \(\displaystyle{ 0 < a \le 1}\) i zbieżny dla \(\displaystyle{ a>1}\) ale jakoś tego nie widzę.
Kryterium Raabego
-
- Użytkownik
- Posty: 34
- Rejestracja: 11 gru 2022, o 12:24
- Płeć: Kobieta
- wiek: 22
- Podziękował: 4 razy
- Dasio11
- Moderator
- Posty: 10256
- Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 41 razy
- Pomógł: 2376 razy
Re: Kryterium Raabego
Bo nie skorzystałaś z kryterium Raabego - tam bada się ciąg \(\displaystyle{ n \left( \frac{a_n}{a_{n+1}} - 1 \right)}\).
-
- Użytkownik
- Posty: 34
- Rejestracja: 11 gru 2022, o 12:24
- Płeć: Kobieta
- wiek: 22
- Podziękował: 4 razy
Re: Kryterium Raabego
To wiele tłumaczy, ale mam jeszcze jedno pytanie. Dlaczego rozbieżny dla \(\displaystyle{ a = 1}\)? Po skorzystaniu z kryterium wyszło mi \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty }n( \frac{a+n+1}{n+1} -1) = \lim_{ n\to \infty } n( \frac{a+n+1-n-1}{n+1})= \lim_{ n\to \infty } \frac{an}{n+1} = a }\)
Widać zatem że jest zbieżny dla \(\displaystyle{ a>1}\) i rozbieżny dla \(\displaystyle{ a<1}\). Jak wyznaczyć rozbieżność w \(\displaystyle{ a = 1}\) i dlaczego nie jest rozbieżny dla \(\displaystyle{ a \le 0}\)?
Dodano po 3 minutach 55 sekundach:
Zastanowiłam się chwilę i doszłam do wniosku że jest rozbieżny w \(\displaystyle{ a=1}\) bo wyraz ogólny zbiega do \(\displaystyle{ \infty}\) ?
Widać zatem że jest zbieżny dla \(\displaystyle{ a>1}\) i rozbieżny dla \(\displaystyle{ a<1}\). Jak wyznaczyć rozbieżność w \(\displaystyle{ a = 1}\) i dlaczego nie jest rozbieżny dla \(\displaystyle{ a \le 0}\)?
Dodano po 3 minutach 55 sekundach:
Zastanowiłam się chwilę i doszłam do wniosku że jest rozbieżny w \(\displaystyle{ a=1}\) bo wyraz ogólny zbiega do \(\displaystyle{ \infty}\) ?
-
- Administrator
- Posty: 34496
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 5222 razy
Re: Kryterium Raabego
Nie, dla \(\displaystyle{ a=1}\) dostajesz po prostu szereg harmoniczny, bo wyraz ogólny to \(\displaystyle{ \frac{1}{n+1}.}\)OrangeBagel20 pisze: ↑21 gru 2022, o 10:37Zastanowiłam się chwilę i doszłam do wniosku że jest rozbieżny w \(\displaystyle{ a=1}\) bo wyraz ogólny zbiega do \(\displaystyle{ \infty}\) ?
JK
-
- Użytkownik
- Posty: 34
- Rejestracja: 11 gru 2022, o 12:24
- Płeć: Kobieta
- wiek: 22
- Podziękował: 4 razy