Matematyka.pl

Witam,
Korzystając z kryterium porównawczego muszę zbadać zbieżność poniższych szeregów:
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } \sin \frac{\pi}{ 2^{n} }}\)
\(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{ \infty } \frac{ 2^{n} + e^{n} }{ e^{n}+ 4^{n} }}\)
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{ 3^{n}+n }{n 3^{n}+ 2^{n} }}\)
Kompletnie nie wiem jak się zabrać do powyższych przykładów. Próbowałem je rozwiązać, ale bezskutecznie. Problem wynika przede wszystkim z tego, że wcześniej, aby wykazać zbieżność/rozbieżność sugerowałem się potęgą argumentu w mianowniku \(\displaystyle{ \frac{1}{ x^{p} }}\). Teraz argument w tych szeregach będzie potegą pewnej stałej \(\displaystyle{ \frac{1}{ p^{x} }}\). Odnośnie pierwszego przykładu za bardzo nie wiem do czego przyrównać \(\displaystyle{ \sin \frac{\pi}{ 2^{n} }}\). Czy mógłby mi ktoś pomóc to rozwiązać? Z góry dziękuję

Dobrze, odnośnie pierwszego szeregu sinusem, to próbowałem go wcześniej rozwiązać. Przeczytałem gdzieś, że dla każdego \(\displaystyle{ x \in \left( 0; \frac{\pi}{2} \right)}\) prawdziwa jest nierówność \(\displaystyle{ \sin x > \frac{2}{\pi}x}\), ale nie rozumiem dlaczego akurat taka nierówność służy do przyrównania.

Dalej przyrównałem to w taki sposób:
\(\displaystyle{ \sin \frac{\pi}{ 2^{n} }> \frac{2}{\pi} \frac{\pi}{2^n} = 2 \frac{1}{2^n}>0}\)
a potem:
\(\displaystyle{ 2 \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{1}{ 2^{n} }= 2 \sum_{n=1}^{\infty } (\frac{1}{ 2})^{n}}\)
i tu się zaciąłem i nie wiem jak użyć w tym miejscu wzór na szereg geometryczny tak, abym mógł potem określić zbieżnosć/rozbieżność badanego szeregu.

Edit:
W sumie wpadłem na to, żeby to policz w taki sposób:
\(\displaystyle{ 2 \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{1}{ 2^{n} }= 2 \sum_{n=1}^{\infty } (\frac{1}{ 2})^{n}= \frac{1- (\frac{1}{2})^{n} }{1- \frac{1}{2} }}\)
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty }\frac{1- (\frac{1}{2})^{n} }{1- \frac{1}{2} }= 2}\)
ale teraz wychodzi, że jest szereg zbieżny, a skoro tak to ten szereg musiałby ograniczać od góry badany szereg. Czyli dalej nie wiem.

skoro tak, to jakiej nierówności z sinusem mam użyć do przyrównania? Powyższej, której użyłem w takim razie nie mogę użyć, tak?

Prosiłbym o sprawdzenie:
skoro \(\displaystyle{ \sin x \le x}\) to \(\displaystyle{ \sin \frac{\pi}{ 2^{n} } \le \frac{\pi}{ 2^{n} }}\)
jeśli \(\displaystyle{ 0<f(x)< g(x)}\) to \(\displaystyle{ 0 < \sin \frac{\pi}{ 2^{n} }< \frac{\pi}{ 2^{n} }}\)
\(\displaystyle{ g(x)= \frac{\pi}{ 2^{n} }}\)
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } g(x) = \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{\pi}{ 2^{n} } =\pi \sum_{n=1}^{ \infty } (\frac{1}{ 2})^{n}= \pi\left( \frac{1- ( \frac{1}{2})^{n} }{1 - \frac{1}{2} }\right)}\)
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \frac{1- ( \frac{1}{2})^{n} }{1 - \frac{1}{2} }=2}\)
Czy to jest dobrze?
jeśli chodzi o drugi szereg: \(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{ \infty } \frac{ 2^{n} + e^{n} }{ e^{n}+ 4^{n} }}\) to do czego go przyrównać? Kombinuje i podejrzewam, że jest zbieżny, więc chciałbym go przyrównać od góry, ale wychodzi, że \(\displaystyle{ g(x)= \frac{ e^{n} + e^{n} }{ e^{n} }}\) a to jest w końcu \(\displaystyle{ 1}\), więc chyba nie w tym rzecz. Ewentualnie \(\displaystyle{ g(x)= \frac{ e^{n} + e^{n} }{ 4^{n} }}\). Dobrze kombinuje?

Z tymi sinusami masz w sumie dobrze, tylko nie wiem, co tu robi jakiś \(\displaystyle{ x}\) (chodzi o te oznaczenia \(\displaystyle{ g(x),f(x)}\)), te wyrazy od żadnego iksa nie zależą (ale to detal).

Jeśli chodzi o \(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{ \infty } \frac{ 2^{n} + e^{n} }{ e^{n}+ 4^{n} }}\), to zauważ, że \(\displaystyle{ \frac{ 2^{n} + e^{n} }{ e^{n}+ 4^{n} } \le 2 \frac{ e^{n} }{ 4^{n} }}\)

Poprosiłbym o sprawdzenie:
\(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{ \infty } \frac{ 2^{n} + e^{n} }{e^{n}+ 4^{n} }}\)
\(\displaystyle{ 0<f(n)<g(n)}\)
\(\displaystyle{ 0< \frac{ 2^{n} + e^{n} }{e^{n}+ 4^{n}} < \frac{ e^{n} + e^{n} }{ 4^{n}}= \frac{e^{n}}{4^{n}}=2 \left( \frac{e}{4}\right)^{n}}\)
\(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{ \infty }g(n)=2 \sum_{n=0}^{ \infty } \left( \frac{e}{4}\right)^{n}=2 \sum_{n=0}^{ \infty } \frac{1- \left( \frac{e}{4}\right)^{n+1} }{1- \frac{e}{4} }=2 \sum_{n=0}^{ \infty} \frac{1- \left( \frac{e}{4}\right)^{n+1} }{ \frac{4-e}{4} }=2 \sum_{n=0}^{ \infty} \frac{4}{4-e}\left( 1- \left( \frac{e}{4}\right)^{n+1}\right)}\)
\(\displaystyle{ \frac{8}{4-e} \lim_{ n\to \infty } \left( 1- \left( \frac{e}{4}\right)^{n+1}\right)= \frac{8}{4-e}}\)
szereg jest zbieżny
został mi tylko szereg: \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{3^{n} +n}{n3^{n}+2^n}}\) nie wiem za bardzo jak go przyrównać. Czyżby z góry przez \(\displaystyle{ g(n)= \frac{2 \ 3^{n}}{n^{2}}}\), ale z drugiej strony nie wiem, czy to jest dopuszczalne, ale wychodzi \(\displaystyle{ g(n)= \frac{1}{n^{2}}3^{n}}\), czyli szereg zbieżny, prawda?

Skąd ta równość:

\(\displaystyle{ 2 \sum_{n=0}^{ \infty } \left( \frac{e}{4}\right)^{n}=2 \sum_{n=0}^{ \infty } \frac{1- \left( \frac{e}{4}\right)^{n+1} }{1- \frac{e}{4} }}\)

??
Obawiam się, że ona nie zachodzi. Być może chciałeś napisać, że \(\displaystyle{ 2 \sum_{n=0}^{ \infty } \left( \frac{e}{4}\right)^{n}= \lim_{n \to \infty } 2\sum_{j=0}^{n} \left( \frac{e}{4}\right)^{j}= \lim_{n \to \infty }2 \frac{1-\left(\frac{e}{4}\right)^{n+1}}{1- \frac{e}{4} }}\)
itd.

-- 8 mar 2015, o 22:32 --

Co do tego ostatniego szeregu, najwygodniej zastosować asymptotyczne kryterium porównawcze z wyrazami rozbieżnego szeregu \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{1}{n}}\)-- 8 mar 2015, o 22:33 --A poza tym szereg o wyrazach \(\displaystyle{ \frac{3^{n}}{n^{2}}}\) nie spełnia nawet warunku koniecznego zbieżności, tj. nieprawdą jest, jakoby \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \frac{3^{n}}{n^{2}}=0}\)

ale poza tym małym detalem to i tak wychodzi mniej więcej coś takiego, tak?

\(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty }\frac{8}{4-e} \left( 1- \left( \frac{e}{4}\right)^{n+1}\right)= \frac{8}{4-e}}\)

a odnośnie ostatniego, to skoro mam przyrównać do \(\displaystyle{ \frac{1}{n}}\), a szereg ten jest rozbieżny. to teoretycznie musiałbym go ograniczyć \(\displaystyle{ 0}\) i badaną funkcją \(\displaystyle{ \frac{3^{n} +n}{n3^{n}+2^n}}\) żebym mógł wykazać rozbieżność, więc coś mi się nie zgadza. No chybą, że coś mi się już pomieszało

Tak.

A co do ostatniego przykładu, to jeśli nie znasz asymptotycznego kryterium porównawczego, możesz też
szacować z dołu przez \(\displaystyle{ \frac{3^{n}}{n3^{n}+3^{n}}}\).

\(\displaystyle{ 0<f(x)<g(x)}\)
\(\displaystyle{ 0< \frac{23^{n}}{n3^{n} +3^{n}}< \frac{3^{n} +n}{n3^{n}+2^n}}\)
ale to nie będzie zachodziło, a skoro mam wykazać rozbieżność, to nie mogę tego przyrównać od góry :/

Przecież napisałem Ci, jak można wygodnie szacować z dołu, by wykazać rozbieżność:
\(\displaystyle{ \frac{3^{n} +n}{n3^{n}+2^n}
\ge \frac{3^{n}}{n3^{n}+3^{n}}}\)

czyli:
\(\displaystyle{ \frac{3^{n} +n}{n3^{n}+2^n}
\ge \frac{3^{n}}{n3^{n}+3^{n}} \ge 0}\)
\(\displaystyle{ \frac{3^{n} +n}{n3^{n}+2^n}
\ge \frac{1}{n+1} \ge \frac{1}{n+n} \ge 0}\)
tak?