Matematyka.pl

\(\displaystyle{ \prod_{n=1}^{ \infty } \frac{p _{n} ^{2}+1 }{p _{n} ^{2}-1 } = \frac{5}{2} }\)
\(\displaystyle{ p _{n} \hbox{ - n-ta liczba pierwsza} }\)
\(\displaystyle{ \prod_{n=1}^{ \infty } \frac{p _{n} ^{4}+1 }{p _{n} ^{4}-1 } = \frac{7}{6} }\)

\(\displaystyle{ \prod_{n=2}^{ \infty } \frac{n ^{3}+1 }{n ^{3}-1 } = \frac{3}{2} }\)

Dodano po 27 dniach 3 godzinach 52 minutach 7 sekundach:
Przepraszam, to jest znane, bo jest w OEIS.

Może to nie jest znane:

\(\displaystyle{ \prod_{n=1}^{ \infty } 1-k ^{-p _{n} } = \frac{k ^{11}-k ^{9}-k ^{8}+k ^{3}+k ^{2}-1 }{k ^{11} } ,k \ge 1}\)

\(\displaystyle{ \prod_{n=1}^{ \infty } 1+k ^{-n} = \frac{k ^{5}-k+1}{k ^{5}-k ^{4}-k ^{2}+1 } ,k \ge 2}\)

\(\displaystyle{ \prod_{n=1}^{ \infty } 1+\left( -k\right) ^{-n} = \frac{k ^{5}-k-1}{k ^{5}+k ^{4}+k ^{2}-1 } ,k \ge 2}\)

Nie wiem jaki jest sens publikowania takich wzorów bez podania źródła, czyli bez możliwości sprawdzenia ich poprawności.

Te rzeczy można znaleźć w każdym podręczniku do analitycznej teorii liczb. Mnie bardziej interesują źródla wzorów podawanych przez Earlu52. No chyba że Ty pokażesz jak je wyżonglować.

NB we wzorach Earlu52 brak nawiasów