Matematyka.pl

Witam,

Mam wyznaczyć iloczyn Cauchy'ego dla dwóch szeregów.

\(\displaystyle{ \sum_{n=o}^{ \infty } \frac{1}{2^n \cdot n!}}\)
\(\displaystyle{ \sum_{n=o}^{ \infty } \frac{2^n}{n!}}\)

Robię to w sposób następujący:

\(\displaystyle{ \sum_{n=o}^{ \infty } \left( \sum_{j=o}^{ n } \frac{1}{2^j \cdot j!} \cdot \frac{2^{n-j}}{(n-j)!} \right) = \sum_{n=o}^{ \infty } \left( \frac{1}{n!} \sum_{j=o}^{ n } {n \choose j} \cdot \frac{2^{n-j}}{2^{j}} \right) = \sum_{n=o}^{ \infty } \left( \frac{1}{n!} \sum_{j=o}^{ n } {n \choose j} \cdot 2^{n-2j} \right)}\)

Co teraz?

Użyj twierdzenia Mertensa. Pierwszy szereg jest zbieżny do \(\displaystyle{ \sqrt{e}}\) a drugi do \(\displaystyle{ e^2}\), a więc ich iloczyn Cauchy'ego jest zbieżny do \(\displaystyle{ \sqrt{e}\cdot e^2 = e^{2.5}}\).


PS. Korzystając z okazji chciałbym zareklamować postać Franciszka Mertensa, który był polsko-austriackim matematykiem o czym mało kto wie.

Można prosić o rozpisanie zbieżności tego pierwszego szeregu? Tzn. jak dochodzimy do \(\displaystyle{ \sqrt{e}}\)

Ale iloczynem Cauchy'ego dwóch szeregów powinien być szereg, a nie jego suma.

Można zrobić tak:

\(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{\infty} \left[ \frac{1}{n!} \sum_{j=0}^n \binom{n}{j} \cdot 2^{n-2j} \right] = \sum_{n=0}^{\infty} \left[ \frac{1}{n!} \sum_{j=0}^n \binom{n}{j} \cdot \left( \frac{1}{2} \right)^j \cdot 2^{n-j} \right] = \sum_{n=0}^{\infty} \left[ \frac{1}{n!} \left( 2+\frac{1}{2} \right)^n \right].}\)

Iloczynem Cauchy'ego dwóch szeregów jest rzeczywiście szereg, na który mamy przecież wzór (jest to ich splot). Ciekawsza jest suma.